Sommaire

Multiplication de matrices
Inverser une matrice
Calculer la matrice inverse
Calculer la puissance d’une matrice
Déterminant d’une matrice
Déterminant d’une matrice (Sarrus)
Déterminant d’une matrice par récurrence
Déterminant par combinaison sur les lignes
Déterminant d’une matrice de Vandermonde
Système de Cramer
Produit scalaire avec des matrices
Diagonaliser une matrice 2×2
Diagonaliser une matrice 3×3
Trigonalisation d’une matrice 3×3
Calcul du polynôme minimal
Puissance de matrice et polynôme minimal
Exercice classique avec la trace
Autre exercice classique avec la trace
Symétrie et antisymétrie
Matrice d’une projection orthogonale
Ensemble des matrices symétriques et antisymétriques
Matrices orthogonales symétriques
Système d’équa diff

Inverser une matrice
Inverser la matrice suivante A avec la méthode du pivot de Gauss :

Déterminant d’une matrice
Calculer le déterminant des matrices suivantes A. Pour la matrice 3×3, d’abord utiliser la règle de Sarrus puis le développement selon les lignes ou les colonnes :

Déterminant d’une matrice (Sarrus)

Calculer les déterminants suivants avec la règle de Sarrus :

Déterminant d’une matrice par récurrence

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Soit a ∈ R^*, calculer ∀ n ∈ N, le déterminant D_n de la matrice suivante (2a sur la diagonale, a « au-dessus » et « en-dessous » des 2a, et 0 ailleurs) :

Calcul du déterminant par combinaisons sur les lignes

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Calculer le déterminant des matrices suivantes :

Système de Cramer

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Résoudre le système suivant par la méthode de Cramer :

Produit scalaire avec des matrices

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Soit un entier strictement positif.
Pour tout (A ; B) appartenant à M_n(R)², on définit l’application :

Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur M_n(R).

Diagonaliser une matrice 2×2

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Diagonaliser la matrice A suivante, puis calculer Aⁿ pour tout n ∈ N :

Diagonaliser une matrice 3×3

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Diagonaliser les matrice A suivantes :

Trigonalisation d’une matrice 3×3

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L’exercice consiste à trigonaliser la matrice suivante :

L’énoncé est cette fois-ci un peu différent.
La matrice A suivante est-elle diagonalisable ?

Montrer que A est semblable à la matrice B suivante :

Calcul du polynôme minimal

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Calculer le polynôme minimal de chacune des 3 matrices A, B et C suivantes :

Puissance de matrice avec le polynôme minimal

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On considère la matrice A suivante :

Calculer le polynôme caractéristique puis le polynôme minimal de A.
En déduire Aⁿ pour tout entier naturel n non nul, puis A^-1.

Exercice classique avec la trace

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Existe-t’il deux matrices A et B appartenant à M_n(R) telles AB – BA = I_n ?

Autre exercice classique avec la trace

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Soient A et B deux matrices de M_n(R). Déterminer X ∈ M_n(R) telle que :

X + Tr(X)A = B

Ensemble des matrices symétriques et antisymétriques en somme directe

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Montrer que l’ensemble des matrices symétriques et l’ensemble des matrices antisymétriques sont en somme directe, c’est-à-dire montrer que S_n ⊕ A_n = M_n(R).

Décomposer ensuite la matrice suivante selon cette somme directe :

Matrices orthogonales symétriques

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Soit M la matrice suivante :

Montrer que M est une matrice symétrique orthogonale diagonalisable.
Trouver les valeurs propres de M et leur multiplicité, puis calculer det(M).