Sommaire

Multiplication de matrices
Inverser une matrice
Calculer la matrice inverse
Calculer la puissance d’une matrice
Déterminant d’une matrice
Déterminant d’une matrice par récurrence
Déterminant d’une matrice de Vandermonde
Produit scalaire avec des matrices
Diagonaliser une matrice 2×2
Diagonaliser une matrice 3×3
Exercice classique avec la trace
Autre exercice classique avec la trace
Symétrie et antisymétrie

Exercice 1 : inverser une matrice
Inverser la matrice suivante A avec la méthode du pivot de Gauss :

Exercice 2 : déterminant d’une matrice
Calculer le déterminant des matrices suivantes A. Pour la matrice 3×3, d’abord utiliser la règle de Sarrus puis le développement selon les lignes ou les colonnes :

Exercice 3 : déterminant d’une matrice par récurrence
Soit a ∈ R^*, calculer ∀ n ∈ N, le déterminant D_n de la matrice suivante (2a sur la diagonale, a « au-dessus » et « en-dessous » des 2a, et 0 ailleurs) :

Produit scalaire avec des matrices

Soit un entier strictement positif.
Pour tout (A ; B) appartenant à M_n(R)², on définit l’application :

Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur M_n(R).

Exercice 4 : diagonaliser une matrice 2×2
Diagonaliser la matrice A suivante, puis calculer Aⁿ pour tout n ∈ N :

Exercice 5 : diagonaliser une matrice 3×3
Diagonaliser les matrice A suivantes :

Exercice 6 : exercice classique avec la trace

Existe-t’il deux matrices A et B appartenant à M_n(R) telles AB – BA = I_n ?

Exercice 7 : autre exercice classique avec la trace

Soient A et B deux matrices de M_n(R). Déterminer X ∈ M_n(R) telle que :

X + Tr(X)A = B