Sommaire

Multiplication de matrices
Inverser une matrice
Calculer la matrice inverse
Calculer la puissance d’une matrice
Déterminant d’une matrice
Déterminant d’une matrice (Sarrus)
Déterminant d’une matrice par récurrence
Déterminant par combinaison sur les lignes
Déterminant d’une matrice de Vandermonde
Déterminant avec matrice annexe
Système de Cramer
Produit scalaire avec des matrices
Diagonaliser une matrice 2×2
Diagonaliser une matrice 3×3
Trigonalisation d’une matrice 3×3
Trigonaliser avec 1 seule VP
Calcul du polynôme minimal
Puissance de matrice et polynôme minimal
Exercice classique avec la trace
Autre exercice classique avec la trace
Théorème de Cayley-Hamilton
Symétrie et antisymétrie
Matrice d’une projection orthogonale
Ensemble des matrices symétriques et antisymétriques
Matrices orthogonales symétriques
Décomposition LU
Calculer une matrice de rotation
Axe et angle d’une matrice de rotation
Comment additionner tous les termes d’une matrice
Système d’équa diff
Exercice avec astuce

Inverser une matrice
Inverser la matrice suivante A avec la méthode du pivot de Gauss :

Déterminant d’une matrice
Calculer le déterminant des matrices suivantes A. Pour la matrice 3×3, d’abord utiliser la règle de Sarrus puis le développement selon les lignes ou les colonnes :

Déterminant d’une matrice (Sarrus)

Calculer les déterminants suivants avec la règle de Sarrus :

Déterminant d’une matrice par récurrence

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Soit a ∈ R^*, calculer ∀ n ∈ N, le déterminant D_n de la matrice suivante (2a sur la diagonale, a « au-dessus » et « en-dessous » des 2a, et 0 ailleurs) :

Calcul du déterminant par combinaisons sur les lignes

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Calculer le déterminant des matrices suivantes :

Déterminant avec matrice annexe

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Soit A et B les matrice suivantes :

1) Calculer det(B)
2) Calculer AB
3) En déduire det(A).

Système de Cramer

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Résoudre le système suivant par la méthode de Cramer :

Produit scalaire avec des matrices

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Soit un entier strictement positif.
Pour tout (A ; B) appartenant à M_n(R)², on définit l’application :

Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur M_n(R).

Diagonaliser une matrice 2×2

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Diagonaliser la matrice A suivante, puis calculer Aⁿ pour tout n ∈ N :

Diagonaliser une matrice 3×3

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Diagonaliser les matrice A suivantes :

Trigonalisation d’une matrice 3×3

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L’exercice consiste à trigonaliser la matrice suivante :

L’énoncé est cette fois-ci un peu différent.
La matrice A suivante est-elle diagonalisable ?

Montrer que A est semblable à la matrice B suivante :

Trigonaliser avec 1 seule valeur propre

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L’exercice consiste à trigonaliser la matrice suivante :

Calcul du polynôme minimal

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Calculer le polynôme minimal de chacune des 3 matrices A, B et C suivantes :

Puissance de matrice avec le polynôme minimal

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On considère la matrice A suivante :

Calculer le polynôme caractéristique puis le polynôme minimal de A.
En déduire Aⁿ pour tout entier naturel n non nul, puis A^-1.

Exercice classique avec la trace

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Existe-t’il deux matrices A et B appartenant à M_n(R) telles AB – BA = I_n ?

Autre exercice classique avec la trace

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Soient A et B deux matrices de M_n(R). Déterminer X ∈ M_n(R) telle que :

X + Tr(X)A = B

Théorème de Cayley-Hamilton

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Soit A la matrice suivante :

1) Calculer le polynôme caractéristique P_A
2) Soit P le polynôme P(X) = 2X⁴ – 12X³ + 19X² – 29X + 37
Calculer P(A)
3) Calculer (P(A))^-1

Ensemble des matrices symétriques et antisymétriques en somme directe

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Montrer que l’ensemble des matrices symétriques et l’ensemble des matrices antisymétriques sont en somme directe, c’est-à-dire montrer que S_n ⊕ A_n = M_n(R).

Décomposer ensuite la matrice suivante selon cette somme directe :

Matrices orthogonales symétriques

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Soit M la matrice suivante :

Montrer que M est une matrice symétrique orthogonale diagonalisable.
Trouver les valeurs propres de M et leur multiplicité, puis calculer det(M).

Décomposition LU d’une matrice

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Soit A, B et X les matrices suivantes :

Résoudre l’équation AX = B à l’aide de la décomposition LU.

Comment trouver une matrice de rotation

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Soit B la base canonique de R³.
Soit u le vecteur (1 ; 1 ; 1) et r la rotation d’axe u et d’angle 2Π/3.
Trouver Mat_B(r)

Axe et angle d’une matrice de rotation

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On définit la matrice A par :

Trouver l’axe et l’angle de la rotation définie par A.

Comment additionner tous les termes d’une matrice ?

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Soit A une matrice de M_n,p(R). Trouver 2 matrices B et C telles que BAC = la somme des coefficients de A.

Exercice avec astuce

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Soit A et B deux matrices de M(R) telles que AB = A + B.
Montrer que AB = BA
Indice : on pourra utiliser (A – I)(B – I)