Sommaire

Multiplication de matrices
Inverser une matrice
Calculer la matrice inverse
Calculer la puissance d’une matrice
Déterminant d’une matrice
Déterminant d’une matrice par récurrence
Diagonaliser une matrice 2×2
Diagonaliser une matrice 3×3
Exercice classique avec la trace
Autre exercice classique avec la trace
Symétrie et antisymétrie

Exercice 1 : inverser une matrice
Inverser la matrice suivante A avec la méthode du pivot de Gauss :

Exercice 2 : déterminant d’une matrice
Calculer le déterminant des matrices suivantes A. Pour la matrice 3×3, d’abord utiliser la règle de Sarrus puis le développement selon les lignes ou les colonnes :

Exercice 3 : déterminant d’une matrice par récurrence
Soit a ∈ R^*, calculer ∀ n ∈ N, le déterminant D_n de la matrice suivante (2a sur la diagonale, a « au-dessus » et « en-dessous » des 2a, et 0 ailleurs) :

Exercice 4 : diagonaliser une matrice 2×2
Diagonaliser la matrice A suivante, puis calculer Aⁿ pour tout n ∈ N :

Exercice 5 : diagonaliser une matrice 3×3
Diagonaliser les matrice A suivantes :

Exercice 6 : exercice classique avec la trace

Existe-t’il deux matrices A et B appartenant à M_n(R) telles AB – BA = I_n ?

Exercice 7 : autre exercice classique avec la trace

Soient A et B deux matrices de M_n(R). Déterminer X ∈ M_n(R) telle que :

X + Tr(X)A = B