Sommaire

Multiplication de matrices
Inverser une matrice
Calculer la matrice inverse
Calculer la puissance d’une matrice
Déterminant d’une matrice
Déterminant d’une matrice (Sarrus)
Déterminant d’une matrice par récurrence
Déterminant d’une matrice de Vandermonde
Produit scalaire avec des matrices
Diagonaliser une matrice 2×2
Diagonaliser une matrice 3×3
Exercice classique avec la trace
Autre exercice classique avec la trace
Symétrie et antisymétrie
Matrice d’une projection orthogonale
Ensemble des matrices symétriques et antisymétriques
Matrices orthogonales symétriques

Exercice 1 : inverser une matrice
Inverser la matrice suivante A avec la méthode du pivot de Gauss :

Exercice 2 : déterminant d’une matrice
Calculer le déterminant des matrices suivantes A. Pour la matrice 3×3, d’abord utiliser la règle de Sarrus puis le développement selon les lignes ou les colonnes :

Déterminant d’une matrice (Sarrus)

Calculer les déterminants suivants avec la règle de Sarrus :

Exercice 3 : déterminant d’une matrice par récurrence

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Soit a ∈ R^*, calculer ∀ n ∈ N, le déterminant D_n de la matrice suivante (2a sur la diagonale, a « au-dessus » et « en-dessous » des 2a, et 0 ailleurs) :

Produit scalaire avec des matrices

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Soit un entier strictement positif.
Pour tout (A ; B) appartenant à M_n(R)², on définit l’application :

Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur M_n(R).

Exercice 4 : diagonaliser une matrice 2×2

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Diagonaliser la matrice A suivante, puis calculer Aⁿ pour tout n ∈ N :

Exercice 5 : diagonaliser une matrice 3×3

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Diagonaliser les matrice A suivantes :

Exercice 6 : exercice classique avec la trace

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Existe-t’il deux matrices A et B appartenant à M_n(R) telles AB – BA = I_n ?

Exercice 7 : autre exercice classique avec la trace

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Soient A et B deux matrices de M_n(R). Déterminer X ∈ M_n(R) telle que :

X + Tr(X)A = B

Exercice 8 : ensemble des matrices symétriques et antisymétriques en somme directe

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Montrer que l’ensemble des matrices symétriques et l’ensemble des matrices antisymétriques sont en somme directe, c’est-à-dire montrer que S_n ⊕ A_n = M_n(R).

Décomposer ensuite la matrice suivante selon cette somme directe :

Exercice 9 : matrices orthogonales symétriques

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Soit M la matrice suivante :

Montrer que M est une matrice symétrique orthogonale diagonalisable.
Trouver les valeurs propres de M et leur multiplicité, puis calculer det(M).