Les complexes

Sommaire

Qu’est-ce-qu’un complexe ?
Représentation graphique
Le i de la partie imaginaire
Le conjugué
Quantité conjuguée
Équations du second degré
Module et argument : forme exponentielle
Calcul du module et de l’argument
Lien avec le cercle trigonométrique
Forme trigonométrique – formule d’Euler et de Moivre
Formules à connaître
Racines n-ième de l’unité
Homothétie, translation, rotation
Point invariant
Application à la géométrie
Une vidéo sur les complexes !
Exercices
Intérêt des complexes

Introduction
Contrairement à ce que pourrait laisser supposer leur nom, les complexes, c’est pas compliqué ! …
Des vidéos seront proposées tout au long du cours pour bien assimiler les différentes notions vues, et de nombreux sujets de bac proposés en fin de cours te permettront de mettre en oeuvre tout ce que l’on aura vu
Bon allez, passons aux choses sérieuses !

Qu’est-ce-qu’un complexe ?
Un complexe se note souvent z, et s’écrit sous la forme z = a + ib, avec a et b réels, par exemple 3 + 4i, 5 – 2i, -8 + 7i…
a est la partie RÉELLE, tandis que b est ce que l’on appelle la partie IMAGINAIRE. Le i t’indique que c’est le b qui est la partie imaginiaire (i comme imaginaire, c’est facile à retenir ).


Attention ! Si z = 2 + 3i, la partie imaginaire est 3, et non 3i !!
Dans la partie imaginaire il n’y a pas le i, le i ne sert qu’à indiquer qui est la partie imaginaire.

On reviendra plus en détails sur ce i.

Quand z s’écrit sous la forme a + ib, c’est ce que l’on appelle sa forme algébrique. Nous verrons qu’il existe d’autres manières d’écrire un complexe.

La partie réelle de z se note Re(z) et sa partie imaginaire Im(z).
Tu sais déjà que l’ensemble des nombres réels se note , et bien l’ensemble des nombres complexes se note…, comme complexe, tout simplement
Mais un complexe, qu’est-ce-que ça représente concrètement ?

Représentation graphique

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Un complexe représente un point dans le plan. La partie réelle correspond aux abscisses, la partie imaginaire correspond aux ordonnées.
Si on note zA = 3 + 2i, cela signifie que les coordonnées de A sont 3 en abscisse et 2 en ordonnée.
Si on note zB = -4 + 3i, cela signifie que les coordonnées de B sont -4 en abscisse et 3 en ordonnée :


La partie réelle se trouve en abscisse, la partie imaginaire en ordonnée


Attention ! On note bien zA dans les calculs, mais sur le graphique on note A.
On dit que zA est l’AFFIXE du point A.
Donc ne pas mettre zA sur le graphique, ça ne veut rien dire !

Ainsi chaque complexe z est l’affixe d’un point du plan.

Le i de la partie imaginaire

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On a vu que pour montrer qui était la partie imaginaire on mettait un i avec, comme 3+2i par exemple.
Il y a alors une propriété TRES importante à retenir sur le i :

mais normalement un carré c’est toujours positif !! C’est quoi ce délire ??
Je te rappelle que i signifie la partie imaginaire, tout est donc possible dans un pays imaginaire…
Bon il va falloir que tu retiennes cette propriété car on l’utilise très souvent.

Un petit exemple pour te montrer quand on l’utilise :
P = (3+4i) × (5-2i)
P = 3×5 – 3×2i + 4i×5 – 4i×2i
P = 15 – 6i + 20i – (-8) car i2 = -1, donc 4i × 2i = 8i2 = -8
P = 15 + 14i + 8
P = 23 + 14i
Et voilà, tu vois comment faire des calculs avec i !
Quand on développe une expression, quand on résout une équation ou autre, c’est un peu comme dans les réels, sauf que i2 = -1.

Avec cet exercice sur les calculs avec i, tu devrais encore mieux comprendre !

Il est important de savoir graphiquement où est i. En fait, i = 0 + 1i, les coordonnées de i sont donc (0 ; 1) :

Quand on verra l’argument et le module plus tard dans le cours, tu comprendras ce qui suit :

Si tu ne comprends pas, ne t’inquiète pas, nous reviendrons dessus ultérieurement

A noter que certains complexes se notent uniquement avec une partie imaginaire, comme 3i, -4i, 8i etc… c’est-à-dire que leur partie réelle est nulle.
Dans ce cas, on dit que ce sont des imaginaires purs.

Si au contraire il n’y a pas de partie imaginaire, par exemple 2, 5 ou -7, ce sont… des réels !
Ainsi, les réels ne sont jamais que des complexes particuliers, ce pourquoi


Les complexes dont la partie réelle est nulle sont appelés des imaginaires purs.
Les complexes dont la partie imaginaire est nulle sont appelés des réels.

Le conjugué

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Le conjugué d’un complexe z se note , et ça se prononce z barre.
C’est très simple, le i devient -i !
Si z = 8+2i, = 8-2i
Si z = 6-2i, = 6+2i


ATTENTION ! Si z = 8i+4, = -8i+4
Il ne faut pas aller trop vite et juste changer le signe au milieu, c’est bien le i qui devient -i !!! Donc si la partie imaginaire est au début comme ici, il faut faire attention…
Ainsi le conjugué de 5i + 6 n’est pas 5i – 6 mais -5i + 6.

Graphiquement, le conjugué de z est le symétrique par rapport à l’axe des abscisses. Si par exemple


B est le symétrique de A par rapport à l’axe des abscisses, car zB est le conjugué de zA

Encore une fois on anticipe un peu en te donnant les formules pour le module et l’argument que nous étudierons plus bas :


On voit bien que les modules (en vert) sont les mêmes, mais que les arguments sont dans le sens opposé

Il y a d’autres formules que tu peux en revanche comprendre dès maintenant :


avec n entier naturel

La démonstration de ces formules est très simple, il suffit de remplacer zA par a + ib et zB par c + id par exemple, sauf la formule avec le n qui se démontre par récurrence.
Nous ferons une des démonstrations en exercice.

Un exercice sur le conjugué est disponible en cliquant ici !

La quantité conjuguée

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La quantité conjuguée n’est pas quelque chose de nouveau, c’est juste une petite méthode. Comme son nom l’indique, cela est lié au conjugué que l’on vient de voir.
Cette méthode s’utilise quand on a des fractions avec des complexes au numérateur et au dénominateur, par exemple :

Imaginons que l’on veuille la partie réelle et la partie imaginaire de zA. Là tout de suite ce n’est pas évident, on ne peut rien dire. Ce qu’il faudrait c’est qu’il n’y ait plus de i au dénominateur.
Comment on fait ?
Et bien on multiplie en haut et en bas par la « quantité conjuguée », c’est-à-dire le conjugué du dénominateur.
Ici le dénominateur vaut 4-5i, donc on multiplie en haut et en bas par son conjugué, c’est-à-dire 4+5i.

On développe :

Et là, Ô miracle, il n’y a plus de i au dénominateur !!
Il ne reste plus qu’à séparer les deux :

On peut maintenant dire que la partie réelle est 2/41 et la partie imaginaire 23/41.


ATTENTION !! Souvent les élèves vont trop vite et ont tendance à faire une erreur classique : ils se contentent de changer le signe au lieu de transformer le i en -i.
Exemple :

Une erreur classique consiste à faire :

Ce n’est pas faux mais 3i – 5 n’est pas le conjugué de 3i + 5 !!!!!
Il ne faut pas changer bêtement le signe du milieu sans réfléchir, c’est bien le i qui devient -i !
Il faut donc multiplier en haut et en bas par -3i + 5 :

Et après on continue le calcul comme on l’a fait précédemment.

Remarque : nous verrons en exercice que si tu multiplies bien par le conjugué du dénominateur, le calcul peut se faire plus rapidement au dénominateur car on aura la partie réelle au carré + la partie imaginaire au carré.

Équations du second degré

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Les complexes permettent par ailleurs de résoudre certaines équations du second degré du type az2 + bz + c = 0. Tu sais déjà faire ça en calculant Δ = b2 – 4ac…
Ok mais comment tu fais quand Δ est négatif ?
En effet, on a vu dans le chapitre sur le second degré que si Δ < 0, il n'y a pas de solution réelle... C'est là que les complexes interviennent ! Si Δ est négatif, les racines sont alors des complexes et la formule est :

Tu remarques que ce sont les mêmes formules que si Δ est positif à deux détails près : le i devant la racine, et la valeur absolue pour le Δ, ce qui est normal puisque Δ est négatif et qu’il est dans la racine.
Voyons un petit exemple : résolvons 5z2 + 2z + 1 = 0
Δ = b2 – 4ac = 22 – 4 x 5 x 1 = 4 – 20 = -16
On voit que Δ est négatif, on applique donc la formule ci-dessus :

    et    

On remarque que z1 et z2 sont conjugués, puisque la seule différence est le i qui devient -i.
Mais ATTENTION ! Cela n’est vrai que si a, b et c sont réels, s’ils sont complexes cela n’est plus vrai du tout !!


Si les coefficients a, b et c sont réels, les racines z1 et z2 sont conjuguées.
Cela n’est plus vrai si au moins un des coefficients a, b ou c est complexe.

Fais ces quelques équations du second degré avec solution complexe pour t’entraîner un peu

Module et argument : la forme exponentielle

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Passons maintenant à quelque chose que l’on a évoqué précédemment sans le développer : le module et l’argument.
Pour repérer un point dans le plan, on peut donner sa partie réelle et sa partie imaginaire (autrement dit son abscisse et son ordonnée). Mais on peut aussi le repérer grâce à son module et son argument.
Le module de zA, c’est la DISTANCE entre le point A et l’origine du repère, O.
L’argument de zA, c’est l’ANGLE entre l’axe des abscisses et la droite (OA).


Le module est une longueur, l’argument est un angle

Le module se note |zA| (comme une valeur absolue), et l’argument se note arg(zA), et souvent on le note θ (prononcer téta), et l’angle est quasiment toujours en radians, pas en degrés.
Un module étant une longueur, il sera toujours positif ou nul : |z| ≥ 0.
A noter que l’argument est toujours donné à 2π près car, comme on l’a vu dans le cours sur la trigonométrie, un angle est toujours donné module 2π.
On dira donc généralement UN argument de z est … et non L’argument de z est…

Si |zA| = r, arg(zA) = θ, on a alors :

c’est ce que l’on appelle la FORME EXPONENTIELLE de zA


ATTENTION ! Dans la forme exponentielle, le module r est supérieur ou égal à 0 (puisque c’est une distance).
Ainsi, 3ei π/4 est bien la forme exponentielle d’un complexe, dont le module est 3 et un argument π/4.
Mais -5ei π/6 n’est pas la forme exponentielle d’un complexe car -5 < 0.

Nous verrons en exercice comment trouver la forme exponentielle dans ce dernier cas.


ATTENTION ! Il existe un cas particulier : 0.
Le module de 0 est 0, car la distance de O à O est nulle.
Mais quel est l’argument de 0 ??
Et bien l’argument de 0 n’existe pas !!! C’est comme diviser par 0, c’est mathématiquement impossible, donc arg(0) n’existe pas. Nous verrons que cela est important, notamment dans les ensembles de points.

Comme on l’a vu |zA| = OA.
Mais on a aussi la propriété suivante :

Autrement dit, on peut calculer la distance entre deux points avec leurs affixes.
Ainsi, si zA = 2 + 3i et zB = 5 – 2i, on a :
AB = |zB – zA|
AB = |5 – 2i – (2 + 3i)|
AB = |5 – 2i – 2 – 3i|
AB = |3 – 5i|
Il va maintenant falloir savoir comment calculer ce module.

Calcul du module et de l’argument

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Bon maintenant il faut savoir comment calculer le module et l’argument !
Pour le module c’est très simple :


Attention !! Il ne faut pas prendre le i dans la formule du module !
C’est bien b2 et non (ib)2

Exemple :
Si zA = 3-4i

Tu auras remarqué que le – du -4 est bien dans la parenthèse, donc ne pas oublier la parenthèse si a ou b est négatif !

Autre exemple :
Par exemple, si zB = 2 + 2i

Il y a une formule assez intéressante que l’on pourra utiliser en exercice pour simplifier parfois les équations :

La démonstration de cette formule est très simple, il suffit de remplacer z par a+ ib :

Par ailleurs :

L’égalité est donc bien vérifiée !

Et l’argument on le trouve comment ??
Pour trouver l’argument, il faut appliquer les deux formules suivantes qui donnent le cosinus et le sinus de l’angle θ (θ = arg(z)) :

Ici, cela donne :

Pour résoudre ce système, il suffit de connaître le cercle trigonométrique !! Il est fondamental que tu connaisses celui-ci PAR COEUR, car tu l’utiliseras souvent, et il ne faut absolument pas que tu perdes de temps là-dessus.
Nous t’avons fait un cercle trigo animé pour que tu t’en souviennes mieux
Ici on trouve θ = π/4
On a donc zB = 2√2eiπ/4

Fais ces quelques exemples en vidéo pour t’entraîner à calculer la forme exponentielle des complexes.


Attention !! Parfois on te demande de trouver le module et l’argument à partir d’une forme exponentielle.
Par exemple si zc = 4eiπ/6, le module est 4 et l’argument π/6, pas de problème.
Mais il peut y avoir un piège !
Par exemple, zA = -3eiπ/8. Tu te dis le module est -3 et l’argument π/8.
Heuuu un module négatif ça N’EXISTE PAS !!
Comment on fait alors ? Et bien on dit que -3 = -1 x 3 = e × 3, puisque -1 = e
On a alors zA = 3e × eiπ/8 = 3 ei (π + π/8) = 3e9iπ/8
Et là oui, tu peux dire que le module est 3 (qui est bien positif) et l’argument 9π/8.
Vérifie donc toujours que le module est bien positif dans la forme exponentielle…



Lien avec le cercle trigonométrique

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Les points du cercle trigonométrique peuvent être repérés avec leur abscisse et leur ordonnée, mais parfois il est bien plus simple de les repérer avec leur module et leur argument !
Le cercle trigonométrique étant de rayon 1, le module des points du cercle est 1. Ils sont donc de la forme e. Certains points particuliers sont notamment à connaître :

Forme trigonométrique : formules d’Euler et de Moivre

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En plus de la forme algébrique et de la forme exponentielle, il y a une autre forme qui est utilisée en exercice : la forme trigonométrique.

Pour la trouver, on va utiliser le fait que :

Ainsi, un complexe s’écrivant sous forme r exp(i θ) sera sous la forme trigonométrique :


avec r = |z|

La formule précédente va nous permettre de trouver plusieurs formules, dont les formules d’Euler.
On a :

or cos(-θ) = cos(θ) et sin(-θ) = -sin(θ) donc

En additionnant les deux formules et en divisant par 2, ou en soustrayant les deux formules et en divisant par 2, on trouve que :

C’est ce que l’on appelle les formules d’Euler.
On les écrira parfois sous la forme :


ATTENTION à ne pas oublier le i dans la formule du sinus !!
Très souvent les élèves l’oublient car ils pensent à la formule du cosinus où il n’y a pas de i.

Attention également au fait que pour le sin, c’est le + d’abord dans l’exponentielle, puis le -.
Exemple : on cherche à simplifier

On voit que cela ressemble à la formule d’Euler avec le sinus :

Le problème ici c’est que dans l’exponentielle il y a d’abord -iπ/7, et après iπ/7 et non l’inverse.
Il est donc conseillé de factoriser d’abord par -1 pour retomber sur la formule :

Et maintenant on applique la formule vue juste avant avec θ = π/7 :

S’il y avait eu un + entre les deux exponentielles le problème ne se serait pas posé car :

et on applique alors la formule d’Euler avec le cosinus :

Les formules d’Euler seront notamment utilisées dans les exercices sur la linéarisation.

Autre formule intéressante : la formule de Moivre.
D’après ce qui précède, si on prend un entier naturel non nul n :

Mais on a aussi :

On en déduit la formule de Moivre :

On en déduit notamment que :

Cela permettra notamment de calculer cos(nx) en fonction de cos(x), ou sin(nx) en fonction de sin(x), c’est ce que nous verrons en exercice !

Formules à connaître

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Plusieurs formules relatives au module, à l’argument et au conjugué sont à connaître, on a déjà vu la plupart. Certaines sont évidentes avec le graphique, et les démonstrations sont souvent très simples (tu peux t’amuser à les démontrer ) :

Le module


avec n entier naturel


PAR CONTRE ATTENTION !!!

C’est l’inégalité triangulaire vue dans le chapitre sur la valeur absolue

L’argument

Les formules avec l’argument sont toujours modulo 2π :

On remarque que l’argument a les mêmes propriétés que la fonction ln, puisque ln(ab) = ln(a) + ln(b), et ln(a/b) = ln(a) – ln(b). Si tu connais les formules pour ln, il est très facile de s’en souvenir pour l’argument

Pour te souvenir de cette dernière formule, dis-toi que l’on prend les lettres de droite à gauche (ici DCBA) et que dans l’argument on les écrit de gauche à droite, de haut en bas, comme le Z de Zorro !

Nous verrons en exercice comment utiliser cette formule.

Le conjugué


avec n entier naturel

Cas particuliers à connaître


m est un réel

Exemples :

Cela peut paraître un peu lourd de retenir toutes ces formules, mais en fait elles sont très simples et la plupart sont intuitives et logiques, notamment si on a en tête le graphique correspondant.
Retiens donc l’idée principale et ne t’acharne pas à les apprendre par cœur, tu les mémoriseras au fur et à mesure des exercices.



Racines n-ième de l’unité

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La formule que l’on va voir maintenant permet de résoudre des équations du style :

avec z complexe et n entier naturel.
On peut tout d’abord remarquer que z = 1 est solution car 1n = 1, donc l’équation a au moins une solution.

Une fois que l’on saura résoudre ce genre d’équation, nous verrons comment résoudre celles de type

Tout d’abord, voyons comment résoudre zn = 1 : il suffit de donner directement la formule des solutions (car il y a n solutions), , notées zk, qui est :

On voit bien qu’il y a n solutions, car l’entier k est compris entre 0 et n-1.
Remarque : les barres verticales dans l’intervalle indiquent que l’on considère les entiers entre 0 et n-1 et non tous les réels entre 0 et n-1, au cas où tu ne t’en souviennes plus


ATTENTION ! Le k est bien compris entre 0 et n-1, pas 0 et n.
Mais on peut également dire que k est compris entre 1 et n.
En effet, pour k = 0 ou k = n, on trouve 1.
Ainsi, si on dit k compris entre 0 et n, on compte deux fois la solution 1.

En effet, pour k = 0

et pour k = n :

Donc pour k = 0 et pour k = n, on a bien la même solution.

On pourrait montrer facilement que pour k = n + 1, on retrouve la même solution que pour k = 1, pour k = n + 2, on retrouve la même solution que pour k = 2 etc… autrement dit les solutions sont identiques modulo n (cela vient de la présence du 2π dans l’exponentielle).

Ces solutions sont appelés les racines n-ièmes de l’unité, car par définition, zkn = 1

Voyons un exemple : on cherche à résoudre

On peut dire directement que, d’après le cours, les solutions sont les complexes :

Autrement dit, nous avons 5 solutions (en remplaçant k par 0, 1, 2, 3 et 4) :

Comme tu le vois, aucune difficulté, il s’agit d’appliquer la formule !

Mais tu auras parfois des équations plus compliquées où zn ne sera pas égal à 1 mais à un complexe.
Par exemple :

A ce moment-là, il faut se ramener à une équation du style zn = 1 en faisant un changement de variable.

La première étape consiste à trouver une solution particulière de l’équation. C’est-à-dire, si on prend l’exemple ci-dessus, qu’il faut trouver z0 tel que z04 = -7 + 24i.
Pour ce faire, il y a généralement 2 possibilités :
– soit on te donne le z0, et tu as juste à vérifier que z04 = -7 + 24i (en calculant z04).
Par exemple on te dit : vérifier que 2 + i est solution de l’équation z4 = -7 + 24i.
Il suffit de calculer (2 + i)4 et de montrer que ça vaut bien -7 + 24i.
– soit tu dois trouver z0 tout seul parce que c’est évident. Si par exemple on résout z3 = -8, on voit rapidement que -2 est solution car (-2)3 = -8. On pose alors z0 = -2.

Ensuite, on remplace par z0n, et on divise pour retrouver zn = 1 :

On pose alors :

Et on retrouve :

On retombe sur une équation que l’on sait résoudre avec ce que l’on a vu plus haut.
Mais attention, il s’agit de Z et non z (ne pas oublier qu’on a fait un changement de variable).
On a alors :

On fait le changement de variable inverse pour retrouver z :

Ainsi, on retombe sur les solutions exponentielles comme précédemment, mais multipliées par (2 + i), qui est une solution particulière de l’équation.
On peut alors généraliser en disant que les solutions de :


sont les complexes :

avec z0 solution particulière de l’équation.

Rien ne t’empêche bien évidemment de refaire le calcul précédent servant de démonstration afin de retrouver ces solutions, c’est d’ailleurs ce que nous ferons en exercices

Cas particulier : si le membre de droite est sous forme exponentielle.
On aurait alors de manière générale :

Une solution particulière évidente est :

En effet :

Donc ce z0 est bien une solution particulière de l’équation.

Exemple : on cherche une solution particulière de l’équation

On transforme d’abord 1 – i sous forme exponentielle, ce qui donne :

On a alors une solution particulière qui est :

Remarque : le 1/12 vient du fait que :

On a ainsi trouvé une solution particulière de manière assez simple juste en calculant la forme exponentielle.

Pour t’entraîner, fais ces exercices sur la racine n-ième de l’unité afin d’appliquer tout ce que l’on vient de voir !

Homothétie, translation, rotation

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Cette partie n’est plus au programme de Terminale S, tu t’en serviras donc peut-être après le bac.

Avec les complexes, il y a 3 applications à connaître : homothétie, translation, rotation. Nous allons voir les formules de chacune, qu’il faut savoir par cœur bien sûr

L’antécédent est souvent noté M, et son affixe z, l’image est noté M’, et son affixe z’.
Les homothéties et les rotations ont un centre noté Ω d’affixe zΩ

Translation

C’est le cas le plus simple : pour une translation de vecteur a :

Par exemple : z’ = z + 2 + 3i.

Homothétie

Pour une homothétie de rapport k et de centre Ω :

Il faut alors retenir que :

On s’en sert parfois dans les exercices.
Graphiquement ça donne cela :

Rotation

Pour une rotation d’angle θ et de centre Ω :

On remarque que c’est la même formule que pour l’homothétie mais avec e i θ à la place de k
Il faut retenir que :


et

Graphiquement :

Point invariant

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Les applications que l’on vient de voir sont des applications particulières, mais il existe des applications de toutes sortes qui n’ont pas forcément de nom. Par exemple :

On te demande parfois de trouver les POINTS INVARIANTS.

C’est tout simple, invariant veut dire qu’il ne bouge pas, donc son image est lui-même :

Il suffit donc de résoudre z’ = z :

Et là on retrouve une équation du second degré (que tu résous avec la méthode vue avant bien sûr^^), on aura donc 2 solutions, donc 2 points invariants !!

Il arrive parfois d’avoir une infinité de points invariants, comme une droite ou un cercle par exemple.

Mais la méthode est toujours la même : pour trouver les points invariants, on résoud z’ = z !!

Les 3 applications vues avant sont cependant particulières et il n’y a pas besoin de résoudre z’ = z :
– pour une translation,il n’y a pas de point invariant ;
– pour les rotations et les homothéties, il n’y a qu’un seul point invariant : le centre Ω.



Application à la géométrie : ensemble de points

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On trouve souvent dans les exercices de géométrie des questions du type « trouver l’ensemble des points M tels que… ».
Ce type de questions peut se faire avec des complexes, mais pas tout le temps !
Nous allons décrire ici les ensembles de point avec les complexes. Pour ce type de questions sans utilisation des complexes, tout est marqué dans le chapitre Géométrie dans le plan

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Si on connaît le point A et un réel r, l’ensemble des points M d’affixe z tels que :

En effet, |z – zA| = r signifie AM = r : ce sont donc tous les points M sont équidistants de A, c’est donc un cercle.

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Si on connaît les points A et B, l’ensemble des points M d’affixe z tels que :

En effet, |z – zA| = |z – zB| signifie AM = BM, tous les points M sont équidistants de A et B, ils sont donc sur la médiatrice.

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Si on connaît les points A et B, l’ensemble des points M tels que :

En effet, cela signifie que :

Donc l’angle est un angle droit.
Or d’après une propriété vue en 4ème, si M est sur le cercle de diamètre [AB], le triangle MAB est rectangle en M, donc l’angle en M vaut π/2.
En revanche, les points A et B ne sont pas compris dans l’ensemble car z ≠ zB à cause du dénominateur, et z ≠ zA sinon on aurait arg(0) qui n’existe pas.

Remarque : si c’est module 2 π et non modulo π, ce sera uniquement un demi-cercle et non le cercle entier. Nous en discuterons lors des exercices.

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L’ensemble des points M tels que :

et l’ensemble des points M tels que :

Ceci se voit très bien sur le schéma

A chaque fois l’origine O n’est pas dans l’ensemble sinon on aurait arg(0).


ATTENTION !! Si c’est π/2 + kπ (c’est-à-dire modulo π), on a bien toute la droite des ordonnées (sauf O).
Mais si on a seulement π/2 modulo 2π, il n’y a que la demi-droite des ordonnées positives !
De même s’il n’y a que -π/2 modulo 2π, il n’y a que la demi-droite des ordonnées négatives.
Il en est bien sûr de même pour l’axe des abscisses :

Ici on suppose à chaque fois que c’est modulo 2 π

Il y a d’autres ensembles de points possibles avec les complexes, mais ceux-ci sont les principaux que tu es susceptible de rencontrer en Terminale.

Nous t’avons préparé des exercices sur les ensembles de points pour que tu maîtrises parfaitement cette notion !

Une vidéo sur les complexes

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Pour terminer le chapitre sur les complexes, nous te proposons une vidéo très bien faite, dont nous avons déjà parlé dans la partie Vidéos intéressantes, de la section Bonus.
Ce n’est pas Méthode Maths qui l’a réalisée mais Dimensions, un autre site sur les mathématiques.
Ceci est la 5ème vidéo, mais il y en a 9 au total. N’hésite pas à aller voir ce très beau site qui te permettra de voir plein de jolies choses que l’on peut faire avec les maths

Exercices et sujets de bac

Tu trouveras sur cette page tous les exercices sur les complexes, les sujets de bac corrigés ici compléteront ces exercices de base.

Intérêt des complexes
Les complexes ont différentes utilisations, nous n’en citerons que quelques unes.
Comme on l’a vu, i2 = -1. Les équations du type x2 = -k, avec k postif peuvent donc maintenant être résolues, les solutions sont i√k et -i√k. Cela a plusieurs applications, notamment dans certaines équations différentielles.
Les complexes permettent également de résoudre des équations du second degré quand Δ est négatif comme on l’a montré auparavant.
La forme exponentielle a de nombreux avantages, elle permet par exemple de simplifier certains calculs compliqués. C’est le cas notamment en électricité quand on utilise la notation complexe, mais on ne le voit pas en Terminale.

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39 réflexions sur “ Les complexes ”

  1. Si j’étais tombé sur ce site il y a deux ans, j’aurai eu de meilleurs résultats en maths c’est la complexité des cours, et les profs qui veulent justent finir leurs programmes qui m’ont dégouté des maths avec ses cours simples et complets j’ai repris goût !
    Un grand merci ^^

  2. J’apprécie beaucoup; c’est très riche! Mais, j’aimerais bien vouloir demander à METHODEMATHS de publier des cours en ce qui concerne la première,deuxième,troisième…etc année(s) de la faculté des sciences appliquées(FDSA) plus précisément en génie civile ou ingénierie,merci.

  3. Vraiment vraiment je vous dit merci et bravo.
    Tout est bien détaillés avec des éclaircissements d’éventuels pièges qu’ont peut croiser.
    Ce que ne font jamais les autres et même des livres de maths.

    Vraiment merci à vous.

  4. Le site propose des cours bien détaillés qui facilitent la compréhension. Bravo à vous !!
    Mais les cours seraient plus accessibles à tous si vous pouvez faire une application version Android. Merci !!

  5. Merci de la clarté de votre cours. Le meilleur site pour moi.
    j’ai une question qui porte sur la partie
    forme exponentielle:
    dans l’exemple de l’encadré rouge,
    pourquoi z= 3e9iπ/8 donne arg(z)=π/8
    et non pas arg(z)=9π/8?
    merci

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