Exercices sur les complexes

Sommaire

Calcul simples – écrire sous forme algébrique
Calcul du conjugué
La quantité conjuguée
Équations simples
Équations z² = x + iy
Équations avec une solution évidente
Résolution de systèmes
Les équations du second degré
Calcul du module
La forme exponentielle – 1
La forme exponentielle – 2
Racines n-ième de l’unité
Linéarisation (formules d’Euler)
Formule de Moivre
Ensemble de points avec module et argument
Autre ensemble de points
Montrer qu’un triangle est isocèle rectangle
Racines d’un polynôme
Factorisation de a³ + b³
Réel ou imaginaire pur ?
Sujets de bacs

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Calcul simples – écrire sous forme algébrique

Mettre sous forme algébrique les complexes suivants en développant :

$(2 + 3i)(5 - 2i)$

$(8 + 4i)(-7i + 5)$

$(3 + 2i)^2$

$(2 - 5i)(3i - 7)(2i + 4)$

Calcul du conjugue

Nous allons d’abord d’abord démontrer une des formules du cours sur le conjugué :

$\bar{z \times z'} = \bar{z} \times \bar{z'}$

Puis nous calculerons le conjugué des complexes suivants :

$3 + 2i$

$7i - 5$

$\frac{5i + 3}{8i - 7}$

$\frac{(z + 3i)(z^3 + 4ie^{i\pi /7})}{(5 - 7i\bar{z})(3iz + 2)}$

La quantité conjuguée

Trouver la partie réelle et la partie imaginaire des complexes suivants :

$z_A = \frac{3 + 2i}{5 + 3i}$

$z_B = \frac{2 - i}{4i + 7}$

Équations simples

Résoudre les équations suivantes :

$3z + 4i = 7z - 5 + 3i$

$2z -4 = 3i + 4\bar{z}$

$(2i + z)(3 + 2z) = 5 + 2z^2$

$3i\bar{z} -4 = 2 - 5i + \bar{z}$

Équations z² = x + iy

Il s’agit ici de trouver z tel que :

$z^2 = 3 + 4i$

Même exercice avec :

$z^2 = 5 - 12i$

Équation avec une racine évidente

Soit (E) l’équation z³ – (4 + i)z² + (13 + 4i)z – 13i = 0
1) Montrer que i est solution de (E).
2) En déduire toutes les solutions de (E).

Résolution de système

Résoudre les systèmes suivants :

$\left\{ \begin{array} 2z + 3z' = 4 + 5i \\ z + 2z' = 3 - 4i \end{array} \right$

$\left\{ \begin{array} 2z + z' = 4 + i \\ 2i\bar{z} - \bar{z'} = 5 + 2i \end{array} \right$

$\left\{ \begin{array} 3z - z' = 5 + 2i \\ \bar{z} - 2z' = 4 + i\end{array} \right$

Équations du second degré avec des complexes

Nous allons résoudre les 2 équations suivantes :

$2z^2 + 2z+ 5 = 0$

$-5z^2 + 4z - 4 = 0$

Calcul du module
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Calculer le module des complexes suivants. Appartiennent-ils à l’ensemble U ?

$z_A = 5 + 3i$

$z_B = \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{2}{3}i$

$z_C = (1 + 2i)(3 - 2i)$

$z_D = \frac{1 + 3i}{2 + i\sqrt{6}}$

$z_E = (2 - i)^6$

Calcul de la forme exponentielle d’un complexe – 1
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Calcul la forme exponentielle des complexes suivants :

$8 - 8i\sqrt{3}$

$4 + 4i$

$\frac{-3 + 3i}{1 + i\sqrt{3}}$

$(2i\sqrt{3} - 2)^5$

$5i$

$-9i$

$-7$

$-3e^{i \pi /9}$

Nous allons maintenant voir une autre méthode pour calculer la forme exponentielle des complexes suivants :

$3 + 3i$

$\frac{3}{4\sqrt{2}} - \frac{3i \sqrt{2}}{8}$

$\frac{-15}{2 \sqrt{3}} + \frac{5}{2}i$

Forme exponentielle avec transformation

Soit x un réel. Donner la forme exponentielle des complexes suivants :

$z_A = sin(x) + icos(x)$

$z_B = -sin(x) + icos(x)$

$z_C = sin(x) - icos(x)$

$z_D = - sin(x) - icos(x)$

Formule de Moivre

Exprimer cos(4x) en fonction de cos(x) et sin(4x) en fonction de cos(x) et sin(x).

Ensemble de points avec module et argument

Trouver l’ensemble des points M d’affixe z tels que :

$|z| = 4$

$|z - 5| = 7$

$|z - 4 + 3i| = 2$

$|z - 2| = |z - 5 + 2i|$

Trouver l’ensemble des points M d’affixe z tels que :

$arg(z) = \frac{\pi}{2} [2 \pi]$

$arg(z) = \frac{\pi}{4} [\pi]$

$arg(z + 2 - i) = \frac{\pi}{3} [2 \pi]$

$arg(\frac{z - 3 - 2i}{z - 5 + 3i}) = \frac{\pi}{2} [2 \pi]$

$arg(\frac{z - 3 - 2i}{z - 5 + 3i}) = \frac{\pi}{2} [\pi]$

$arg(\frac{z - 1 - i}{1 + i}) = \frac{\pi}{2} [2 \pi]$

Autre ensemble de points

Exercice 1 :
Soit E l’ensemble des points M d’affixe z tels que :

$|\frac{z- 3}{z - 5}| = \frac{\sqrt{2}}{2}$

1) Montrer que :

$M \in E \Leftrightarrow z \bar{z} - (z + \bar{z}) = 7$

puis que

$M \in E \Leftrightarrow |z - 1| = \sqrt{8}$

2) Déterminer alors E.
3) Calculer E directement sans passer par les étapes ci-dessus.

Exercice 2 :
Soit M d’affixe z ≠ 0. On pose :

$z' = \frac{z - 1 - i}{z}$

Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que |z’| = 1, puis tels que z’ soit réel.

Montrer qu’un triangle est isocèle rectangle

Soit A et B tels que

$z_A = 1 + i \sqrt{3}$

$z_B = 1 - \sqrt{3} + i(1 + \sqrt{3})$

Montrer que OAB est isocèle rectangle en A.

Racines d’un polynôme avec une racine évidente

Soit P(z) = z⁴ – 5z³ + 7z² – 5z + 6.
1) Montrer que pour tout complexe z :

$P(\bar{z}) = \bar{P(z)}$

2) Montrer que i est racine de P.
3) En déduire toutes les racines de P.

Factorisation de a³ + b³

Soit a et b deux complexes.
1) Déduire de la formule a³ – b³ la factorisation de a³ + b³.
2) Résoudre z³ + 8 = 0
3) Résoudre (z-7)³ + 125 = 0

Réel ou imaginaire pur ?

Soit z un complexe, et Z un autre complexe défini par : $Z = (z - 3i)(\overline{z} + 3i)$
Z est-il réel ou imaginaire pur ?

3 réflexions sur “ Exercices sur les complexes ”

Mickael Martinez-Levy dit :

30 mars 2019 à 17 h 24 min

La premier équations du second degré avec des complexes est z^2 +z+5=0 alors que dans le corriger vidéo z^2 +2z+5=0 il y a donc une petite erreur qui je l’espère sera rapidement corriger.
Sinon merci pour ce très bon site et ces très bonne vidéo.

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1. Méthode Maths dit :
  
  17 avril 2019 à 17 h 59 min
  
  Merci ! L’erreur a été corrigée 🙂
  
  Répondre
Ibraima dit :

13 décembre 2020 à 14 h 07 min

C’est très bon. Merci à vous de s’occuper de nous.

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