Les équations différentielles

Sommaire

Une équa diff, qu’est-ce-que c’est ?
Solution de y’ = ay
Solution de y’ = ay + b
Exercice détaillé
Annales de bac
Intérêt des équations différentielles

Introduction
Ce chapitre est très court car il n’y a que deux formules à connaître Mais ce n’est pas pour autant qu’il faut le négliger !
De plus, les applications sont parfois un peu compliquées, nous profitons donc du fait que ce chapitre soit court pout détailler un exercice avec la méthode complète. Bien sûr il y aura aussi des vidéos

Une équa diff, qu’est-ce-que c’est ?

Une équation différentielle, souvent appelée équa diff, est une égalité où il y a une fonction avec ses dérivées.
Par exemple :

On voit qu’il y a une fonction f, avec sa dérivée première f ‘, et sa dérivée seconde f  ».
Souvent pour simplifier on écrit y, y’, y »…au lieu de f(x), f ‘(x)…c’est plus simple et plus court à écrire
En Terminale, les seules équations que tu as à résoudre sont avec y et y’, tu n’auras pas de y », sauf en physique mais on te demandera juste de remplacer^^
Voynos justement ces formules.

Solution de y’ = ay
Le premier type d’équations est celle de la forme y’ = ay, avec a réel.
Par exemple y’ = 3y.
Il ne faut pas résoudre ce type d’équation comme une équation normale, en essayant d’isoler y, il faut directement donner la solution.
Cette solution est alors :

k est une constante réelle, on verra après comment la déterminer. Le a est bien sûr celui de l’équa diff.
Exemple : y’ = 3y
Ici a = 3, on applique alors la formule :
y = ke3x, avec k constante.
Bien sûr il ne faut pas perdre de vue que quand on marque y, c’est sous-entendu y(x), mais on écrit toujours y.

Ok mais le k, on le trouve comment ?
Et bien si on te demande la solution générale de l’équa diff, tu laisses comme ça.
Par contre parfois ils demandent de « trouver LA solution qui vérifie y(5) = 7 » par exemple.
C’est ce qu’on appelle une CONDITION INITIALE.
Tu n’as plus alors qu’à remplacer dans la solution générale, ici tu dois remplacer x par 5 :

puisque y(x) = ke3x

car y(5) = 7

Et on remplace le k dans la solution générale :

Et voilà, on a résolu l’équation différentielle y’ = 3y qui vérifie y(5) = 7

A noter : parfois on te demande de trouver la solution qui S’ANNULE EN 4. Cela siginifie que y(4) = 0. Ne soit donc pas étonné de cette formulation


ATTENTION ! Des fois on te demandera de résoudre y’ + 2y = 0.Tu te dis « on prend a = 2 et on applique la formule ».
ET NOOOOONNNNN !!!
Il faut d’abord passer le 2y à droite du égal pour retrouver une équation de la forme y’ = ay.
On a alors y’ = -2y, et là on peut appliquer la formule avec a = -2 et pas a = 2…

Solution de y’ = ay + b

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La seule différence avec avant, c’est qu’on rajoute une constante b.
Exemple : y’ = 4y + 6.
La solution est alors :

Comme tu le vois c’est pareil, sauf qu’on rajoute -b/a à la fin.

Un petit exemple :
y’ = 2y – 5
Ici a = 2 et b = -5. On applique alors la formule :

Et comme tout à l’heure si on te demande de calculer LA solution qui s’annule en 4 par exemple (donc y(4) = 0), tu n’as qu’à remplacer :

Et on remplace le k :

On peut éventuellement factoriser, ce sera plus joli

Avant de voir un exercice complet corrigé, nous t’invitons à t’entraîner ces sur exemples d’équations différentielles


Exercice corrigé détaillé

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Nous allons corriger l’exercice du bac de France métropolitaine 2010 sur les équations différentielles, qui est un exercie TYPIQUE sur ce chapitre.
Nous ne corrigerons que la partie A qui est la plus représentative, la partie B n’est pas particulièrement liée aux équations différentielles.
Regardons d’abord l’énoncé :

On considère l’équation différentielle (E) : y’ + y = e-x
1) Montrer que la fonction u défninie sur l’ensemble des réels R par u(x) = xe-x est une solution de l’équation différentielle (E).

2) On considère l’équation différentielle (E’) : y’ + y = 0. Résoudre l’équation différentielle (E’).

3) Soit v une fonction définie et dérivable sur R. Montrer que la fonction v est une solution de l’équation différentielle (E) si et seulement si la fonction v-u est solution de l’équation différentielle (E).

4) En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle (E).

5) Déterminer l’unique solution g de l’équation différentielle (E) telle que g(0) = 2.

A première vue il n’y a pas de remarque particulière à faire sur l’énoncé, nous verrons les questions au fur et à mesure.

1) La première question est très simple : il suffit de vérifier que u est solution de E, c’est-à-dire qu’il faut montrer que u’ + u = e-x
En effet, dire que u est solution de (E) veut dire que l’égalité (E) est vérifiée si on remplace y par u.


Mais ATTENTION !!! Il ne faut surtout pas dire dès le départ que u’ + u = e-x, ça c’est ce qu’on veut montrer !!!
Comme pour l’initialisation pour les suites,il faut calculer d’abord u’ + u, et montrer que ça vaut e-x !!

Calculons donc u’ + u. il est recommandé de calculer d’abord u’ :
u est un produit de fonction, on applique donc la formule u’v + uv’.


ATTENTION ! Ici la fonction s’appelle u, donc si on dit u’v + uv’ ça peut porter à confusion…on va plutôt dire p’q + qp’.

p = x, p’ = 1
q = e-x, q’ = -e-x

u’ = p’q + qp’
u’ = e-x – xe-x

Et maintenant on peut calculer u’ + u :

u’ + u = e-x – xe-x + xe-x
u’ + u = e-x

Et voilà, on a bien prouvé que u’ + u = e-x, donc u est bien solution de (E).

2) La non plus il n’y a aucune difficulté, il faut juste bien penser à passer le y à droite de l’équation comme on l’avait remarqué plus haut pour obtenir une équation de la forme y’ = ay.

y’ + y = 0
y’ = -y

On aplique donc la formule avec a = -1 :

y = ke-x, avec k constante réelle.

3) Ahhh c’est là que ça devient TRES intéressant . Beaucoup d’élèves ont peur de ces questions longues auxquelles ils ne comprennent rien alors qu’avec un peu de méthode ça passe tout seul^^
C’est là qu’il faut regarder attentivement la question : on voit qu’il y a SI ET SEULEMENT SI. Ceci « coupe » la question en 2 parties :
a) la fonction v est une solution de l’équation différentielle (E)
b)la fonction v-u est une solution de l’équation différentielle (E’)

La méthode est la suivante : il faut supposer a) et montrer b), puis faire l’inverse : suppose b)et montrer a).

On doit faire dans les 2 sens à cause du SI ET SEULEMENT SI. Le a) est ce qui est avant le « si et seuelement si », le b) est ce qui est après le « si et seuelement si ».

C’est parti : supposons a), c’est-à-dire supposons que la fonction v est une solution de l’équation différentielle (E).
Cela signifie que v’ + v = e-x

Il faut alors montrer b), donc il faut montrer que (v-u)’ + (v-u) = 0.
En effet, il suffit de remplacer y par v-u dans l’équation (E’).

Pour cela c’est comme d’habitude : on va calculer (v-u)’ + (v-u) et montrer que c’est égal à 0.
Bien sûr il ne faut SURTOUT PAS DIRE DES LE DEBUT QUE CA VAUT 0 !!!!

(v-u)’ + (v-u) = v’ – u’ + v – u

on regroupe alors les v et les u :

(v-u)’ + (v-u) = v’ + v – u’ – u
(v-u)’ + (v-u) = (v’ + v) – (u’ + u)

or par hypothèse v’ + v = e-x, et on a vu tout à l’heure que u’ + u = e-x, d’où :

(v-u)’ + (v-u) = e-x – e-x = 0

Et voilà, on a montré que (v-u)’ + (v-u) = 0, donc que v-u est solution de l’équation différentielle (E’).

Maintenant on fait l’inverse : on suppose b), donc on suppose que v-u est solution de l’équation différentielle (E’) :
(v-u)’ + (v-u) = 0
Et il faut montrer a), donc il faut montrer que v’ + v = e-x

On part de ce qu’on a supposé :
(v-u)’ + (v-u) = 0
v’ – u’ + v – u = 0
v’ + v = u’ + u

or on a vu que u’ + u = e-x

donc v’ + v = u’ + u = e-x

Et voilà, on a montré que v’ + v = e-x, donc que v est solution de (E) !!

Il ne reste plus qu’à conclure : on a montré que a) ⇒ b) et b) ⇒ a), donc a) ⇔ b).

4) Unefois qu’on a fait la question 3) qui est un peu longue mais pas très dure ), les 2 dernières questions sont très simples et très rapides.

Il faut trouver toutes les solutions de (E). Or dans la question 3 on avait v qui était solution de (E).

On dit donc : soit v une solution de (E).
D’après la question 3, on sait alors que v-u est soution de (E’).

Et d’après la question 2, les solutions de (E’) sont ke-x.

Du coup, v – u = ke-x, puisque v – u est soution de (E’).

donc
v = ke-x + u
v = ke-x + xe-x

Et c’es tout !! On a bien trouvé toutes les solutions v de l’équation (E) :
v = ke-x + xe-x, avec k constante réelle.

5) Cette question n’est que du calcul avec un petit détail quand même.
Il faut trouver LA solution g de (E) quivérifie g(0) = 2.

g est solution de (E), or on a vu à la question 4 que les solutions de (E) étaient ke-x + xe-x

donc g = ke-x + xe-x

Et il suffit de trouver la constante k grâce à g(0) = 2 :

g(0) = 2
ke-0 + 0 × e-0 = 2
k = 2 car e-0 = 1

Ainsi, g = 2e-x + xe-x

On peut éventuellement factoriser par e-x :
g(x) = e-x(2 + x)

Ce qu’il faut retenir c’est surtout la question 3 où il faut supposer a) et montrer b) puis faire l’inverse. Il faut bien retenir quec’est le « si et seulement si » qui te permet d’identifier le a) et le b).
Il faut aussi que tu saches impérativement traduire sous forme d’équation les phrases du style « v-u est solution de l’équation différentielle (E’) », car la question est une phrase mais toi tu dois montrer des égalités !!
Enfin, n’oublie pas que quand tu as une égalité à montrer, il ne faut pas partir de l’égalité !! Il faut partir de ce que tu as supposé ou d’une partie de l’égalité pour arriver à la fin du calcul à l’égalité que tu veux montrer.

Annales de bac

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Les annales sur les équations différentielles sont du même style que l’exercice détaillé, donc tu ne devrais pas avoir de surprises en les voyant
Clique ici pour accéder aux annales avec la correction en vidéo !

Intérêt des équations différentielles
Les équations différentielles sont utilsées dans beaucoup de chapitres de physique.
En électricité, l’évolution des tensions et de l’intensité dans un cricuit RL, RC ou RLC est régie par une équation différentielle, parfois avec des dérivvées secondes.
En mécanique, la 2ème loi de Newton comporte l’accélération, qui est la dérivée seconde de la position. Cette loi nous donne souvent des équations différentielles.
En radioactivité, la loi de décroissance radioactive provient d’une équation différentielle.
Bien d’autres domaines de la physique comportent des équa diff, il est alors indispensable de savoir les résoudre afin de connaître l’évolution du système.

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17 réflexions sur “ Les équations différentielles ”

  1. Bonjour

    Pour l’exercice bac où est il marqué dans le cours qu’on soit censé utiliser la formule u’vxuv’ pour calculer u+u’ ? En lisant l’énoncé jamais jaurais pensé avoir recours à cette formule mais plutot à celle du cours y=ke(ax) non ?

    1. tu dois te reporter au chapitre traitant des dérivées de fonction composée qui est un cours de 1ere.

      une fonction composée ( dans ce cas un produit) noté u*v se dérive avec la formule: u’.v+u.v’.

  2. Bonjour,

    j’utilise vos cours et vos vidéos pour apprendre les maths….Vraiment top! Bref j’ai un problème, le raccourci « exemples d’équations différentielles » ne fonctionpas, pouvez-vous y jeter un oeil? Merci par avance, Bonne journee et encore merci!!!!!!!

  3. Bjr,
    Il y a une petite erreur d’apostrophe dans la correction de l’exercice ici :

    u’ = p’q + qp’
    Qui revient à p’q + p’q
    Or c’est p’q+pq’.

    A part ca, merci pr ton site fantastique !

  4. bonjour,
    dans la troisième question de l’exercice, il manque l’apostrophe de (E’) pour si et seulement si la fonction v-u est solution de l’équation différentielle (E’).
    Merci pour votre site

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