Exercices sur la récurrence

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Exemple classique

Soit (u_n) la suite définie par u₀ = 5 et pour tout entier naturel n, u_n+1 = 3u_n + 8.

Montrer que pour tout entier naturel n, u_n = 9 x 3ⁿ – 4

Raisonnements plus complexes

Soit (u_n) la suite définie par u₀ = 2 et pour tout entier naturel n,

$u_{n + 1} = \frac{u_n}{1 + u_n}$

Montrer que pour tout entier naturel n :

$u_n = \frac{2}{2n + 1}$

Raisonnements plus complexes

Nous allons montrer 3 propriétés par récurrence :
1)

$u_0 = 2\, et\, u_{n+ 1} = \sqrt{u_n + 2}$

$\forall n \ge 0, \,\,P(n) :\,\, u_n \le 2$

$\forall n \ge 1,\,\,\,P(n) :\,\, 10^n - 1\, est\, multiple\, de\, 9$

$\forall n \ge 1,\,\,\,P(n) :\,\, 1 + 2+ 3+ ...+ n = \frac{n(n+ 1)}{2}$

Méthode Maths