Exercices sur la récurrence

Sommaire

Exemple classique
Une somme simple
Calcul de la somme des k carré
Calcul de la somme des k cube
Récurrence avec une inégalité
Récurrence avec une conjecture
Récurrence double
Récurrence forte
Formule d’inversion de Pascal : récurrence forte
Récurrence avec une fraction
Raisonnements plus complexes

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Exemple classique

Soit (u_n) la suite définie par u₀ = 5 et pour tout entier naturel n, u_n+1 = 3u_n + 8.

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, u_n = 9 x 3ⁿ – 4

Une somme simple

Montrer que pour tout n > 0 :

$\displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)} = 1 - \frac{1}{n + 1}$

Calcul de la somme des k²

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul :

$\displaystyle\sum_{k = 1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

Calcul de la somme des k cube

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul :

$\displaystyle\sum_{k = 1}^{n} k^3 = \( \frac{n(n + 1)}{2} \)^2$

Récurrence avec une inégalité

On pose v₀ = 0 et pour tout entier naturel n :

$\displaystyle v_{n + 1}= \sqrt{0,5 v_n + 8}$

Montrer que pour tout entier naturel n, 0 ≤ v_n ≤ 4.

Récurrence avec une conjecture

On pose u₀ = 0 et pour tout entier naturel n :

$\displaystyle u_{n + 1}= \frac{1}{2 - u_n}$

Conjecturer l’expression de u_n en fonction de n et la démontrer par récurrence.

Même question avec u₁ = 1 et pour tout entier naturel n non nul : u_n+1 = u_n + 2n + 1

Récurrence double

On pose u₀ = u₁ = 1 et pour tout n ≥ 0 :

$u_{n + 2} = (n + 1)u_{n + 1} - (n + 2)u_n$

Montrer que pour tout n ≥ 0 : u_n = n² – n – 1

Récurrence forte

On pose u₁ = 3 et pour tout n ≥ 1 :

$\displaystyle u_{n + 1} = \frac{2}{n} \sum_{k = 1}^{n} u_k$

Montrer que pour tout entier naturel n non nul, u_n = 3n.

Formule d’inversion de Pascal : récurrence forte

1) Montrer que pour tout i ≤ k ≤ n + 1 :

$\displaystyle \begin{pmatrix} n + 1 \\ k \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix}\, = \begin{pmatrix} n + 1 \\ i \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} n + 1 - i \\ k -i \end{pmatrix}\,$

2) Montrer que que les propositions suivantes sont équivalentes :

$\forall k \le n, \, u_k = \sum\limits_{i = 0}^{k} \begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix}\, v_i$

$\forall k \le n, \, v_k = \sum\limits_{i = 0}^{k} (-1)^{k - i} \begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix}\, u_i$

C’est-à-dire montrer que

formule d'inversion de Pascal

Raisonnements plus complexes

Soit (u_n) la suite définie par u₀ = 2 et pour tout entier naturel n,

$u_{n + 1} = \frac{u_n}{1 + u_n}$

Montrer que pour tout entier naturel n :

$u_n = \frac{2}{2n + 1}$

Raisonnements plus complexes

Nous allons montrer 3 propriétés par récurrence :
1)

$u_0 = 2\, et\, u_{n+ 1} = \sqrt{u_n + 2}$

$\forall n \ge 0, \,\,P(n) :\,\, u_n \le 2$

2)

$\forall n \ge 1,\,\,\,P(n) :\,\, 10^n - 1\, est\, multiple\, de\, 9$

3)

$\forall n \ge 1,\,\,\,P(n) :\,\, 1 + 2+ 3+ ...+ n = \frac{n(n+ 1)}{2}$

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