Exercices corrigés sur la récurrence niveau lycée

Sommaire

Exemple classique
Une somme simple
Calcul de la somme des k carré
Calcul de la somme des k cube
Récurrence avec une inégalité
Récurrence avec une conjecture
Récurrence double
Récurrence forte
Formule d’inversion de Pascal : récurrence forte
Récurrence avec une fraction
Raisonnements plus complexes

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Exemple classique

Soit (un) la suite définie par u0 = 5 et pour tout entier naturel n, un+1 = 3un + 8.

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un = 9 x 3n – 4

Une somme simple

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Montrer que pour tout n > 0 :

\(\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)} = 1 – \frac{1}{n + 1} \)

Calcul de la somme des k2

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Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul :

\(\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)

Calcul de la somme des k cube

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Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul :

\(\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2 \)

Récurrence avec une inégalité

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On pose v0 = 0 et pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle v_{n + 1}= \sqrt{0,5 v_n + 8} \)

Montrer que pour tout entier naturel n, 0 ≤ vn ≤ 4.

Récurrence avec une conjecture

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On pose u0 = 0 et pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle u_{n + 1}= \frac{1}{2 – u_n} \)

Conjecturer l’expression de un en fonction de n et la démontrer par récurrence.

Même question avec u1 = 1 et pour tout entier naturel n non nul : un+1 = un + 2n + 1

Récurrence double

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On pose u0 = u1 = 1 et pour tout n ≥ 0 :

\(\displaystyle u_{n + 2} = (n + 1)u_{n + 1} – (n + 2)u_n \)

Montrer que pour tout n ≥ 0 : un = n2 – n – 1

Récurrence forte

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On pose u1 = 3 et pour tout n ≥ 1 :

\(\displaystyle u_{n + 1} = \frac{2}{n} \sum_{k = 1}^{n} u_k \)

Montrer que pour tout entier naturel n non nul, un = 3n.

Formule d’inversion de Pascal : récurrence forte

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1) Montrer que pour tout i ≤ k ≤ n + 1 :

\(\displaystyle \begin{pmatrix} n + 1 \\ k \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix}\, = \begin{pmatrix} n + 1 \\ i \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} n + 1 – i \\ k -i \end{pmatrix} \)

2) Montrer que que les propositions suivantes sont équivalentes :

\(\displaystyle \forall k \le n, \, u_k = \sum\limits_{i = 0}^{k} \begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix}\, v_i \)

\(\displaystyle \forall k \le n, \, v_k = \sum\limits_{i = 0}^{k} (-1)^{k – i} \begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix}\, u_i \)

C’est-à-dire montrer que

formule d'inversion de Pascal

Avec une fraction

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Soit (un) la suite définie par u0 = 2 et pour tout entier naturel n,

\(\displaystyle u_{n + 1} = \frac{u_n}{1 + u_n} \)

Montrer que pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle u_n = \frac{2}{2n + 1} \)

Raisonnements plus complexes

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Nous allons montrer 3 propriétés par récurrence :
1)

\(\displaystyle u_0 = 2\, et\, u_{n+ 1} = \sqrt{u_n + 2} \)

\(\displaystyle \forall n \ge 0, \,\,P(n) :\,\, u_n \le 2 \)

2)

\(\displaystyle \forall n \ge 1,\,\,\,P(n) :\,\, 10^n – 1\, est\, multiple\, de\, 9 \)

3)

\(\displaystyle \forall n \ge 1,\,\,\,P(n) :\,\, 1 + 2+ …+ n = \frac{n(n+ 1)}{2} \)

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