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Montrer que ∀ (a;b) ∈ R2, et ∀ n ∈ N* :
\(\displaystyle a^n – b^n = (a-b)\sum\limits_{k=0}^{n-1} a^k \ \ \ \ b^{n-1-k} \)
Monter que ∀ n ∈ N* :
\(\displaystyle (\sum\limits_{k=1}^{n} k)^2 = \sum\limits_{k=1}^{n}k^3 \)
Soient deux entiers naturels p et n tels que p ≤ n.
1) Montrer par récurrence sur n que :
\(\displaystyle \sum\limits_{k=p}^{n} \begin{pmatrix} k\\ p \end{pmatrix}\, = \begin{pmatrix} n + 1\\ p + 1 \end{pmatrix}\, \)
2) Montrer que ∀ p, k ∈ N2 tels que k ≥ p :
\(\displaystyle \begin{pmatrix} k\\ p\end{pmatrix}\, = \begin{pmatrix} k + 1\\ p + 1 \end{pmatrix}\, – \begin{pmatrix} k\\ p + 1 \end{pmatrix} \)
En déduire que ∀ n ≥ p :
\(\displaystyle \sum\limits_{k=p}^{n} \begin{pmatrix} k\\ p \end{pmatrix}\, = \begin{pmatrix} n + 1\\ p + 1 \end{pmatrix} \)
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Bonjour,
Juste une petite remarque : vous dites que p+1 est plus petit que p, vous vouliez dire bien sûr que p+1 est plus grand que p et donc que p+1 parmi p est nul 🙂
Merci beaucoup pour votre travail.
Merci !
Oui en effet, c’est pour voir ceux qui suivent 😉