Sommaire
Introduction
Calcul des coefficients de Fourier
Expression de la série de Fourier
Théorème de Dirichlet
Formule de Parseval
Exemple d’application
Exercices
Nous allons nous intéresser dans ce chapitre aux séries de Fourier. Ce sont des séries, comme son nom l’indique, qui permettent de simplifier la résolution de problèmes physiques, notamment des équations différentielles.
Nous verrons que les séries de Fourier s’appliquent aux fonctions périodiques, ce pourquoi ce sont surtout les phénomènes physiques périodiques qui sont visés (électricité, ondes etc…).
L’idée est de décomposer n’importe quelle fonction périodique en une somme de cosinus et de sinus, ou en une somme d’exponentielles complexes : cela est lié à la décomposition d’un son en une fréquence fondamentale et des harmoniques comme tu as dû le voir au lycée par exemple.
Les exercices vidéo en fin de chapitre te permettront de voir des applications concrètes des théorèmes présents dans le cours.
On rappelle qu’une fonction périodique de période T est définie par :
\(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}, \, f(x + T) = f(x) \)
On définit alors la pulsation ω comme en physique par :
\(\displaystyle \omega = \frac{2 \pi}{T} \)
cos(ωT), sin(ωT) et exp(iωT) sont alors périodiques de période T.
En effet :
cos(ω(x + T)) = cos(ωx + ωT)
cos(ω(x + T)) = cos(ωx + 2π)
cos(ω(x + T)) = cos(ωx) car cos est 2π périodique
La démonstration est similaire pour sin(ωT) et exp(i ωT).
On pourrait également démontrer que cos(nωT), sin(nωT) et exp(niωT) sont également périodiques de période T pour tout entier n.
L’objectif est de décomposer toute fonction périodique sous forme d’une combinaison linéaire de cos(nωT) et sin(nωT), ou d’une combinaison linéaire de exp(niωT).
Il y a cependant des conditions pour pouvoir calculer la série de Fourier d’une fonction :
—
Pour pouvoir calculer les coefficients de Fourier d’une fonction de R dans C, celle-ci doit être périodique de période T, et continue par morceaux.
—
Les coefficients complexes, notés cn, sont alors définis par :
\(\displaystyle \forall n \in \mathbb{Z}, \)
\(\displaystyle c_n = \frac{1}{T} \int\limits_0^T f(t) e^{-ni\omega t} dt \)
Les coefficients réels an et bn sont quant à eux définis par :
\(\displaystyle a_0 = \frac{1}{T} \int\limits_0^T f(t)dt \)
\(\displaystyle \forall n \gt 1 : \)
\(\displaystyle \forall a_n = \frac{2}{T} \int\limits_0^T f(t) cos(n\omega t) dt \)
\(\displaystyle \forall b_n = \frac{2}{T} \int\limits_0^T f(t) sin(n\omega t) dt \)
Remarques : a0 correspond à la valeur moyenne de f.
Attention, b0 n’existe pas !
—
Par périodicité, on peut bien sûr intégrer sur n’importe quel intervalle de longueur T, et pas forcément sur [0 ; T], par exemple sur [-T/2 ; T/2].
—
On pourrait donc écrire une formule plus générale pour tout réel k :
\(\displaystyle c_n = \frac{1}{T} \int\limits_{k}^{k + T} f(t) e^{-ni\omega t} dt \)
De même évidemment pour les coefficients an et bn.
Deux cas particuliers que l’on rencontrera souvent : les fonctions paires et impaires.
On peut facilement démontrer que quand f est paire, les coefficients bn sont nuls.
De la même manière, si f est impaire, les coefficients an sont nuls :
\(\displaystyle Si \, f \, est \, paire, \, b_n = 0 \, \forall n \)
\(\displaystyle Si \, f \, est \, impaire, \, a_n = 0 \, \forall n \)
De plus, si f est paire, dans l’intégrale servant à calculer an, on a f(t)cos(nωt) qui est paire puisque f et cos le sont.
L’intégrale de 0 à T vaut donc le double de celle de 0 à T/2 :
\(\displaystyle \forall n \gt 1, \, a_n = 2 \times \frac{2}{T} \int\limits_0^{T/2} f(t) cos(n\omega t) dt \)
\(\displaystyle si \, f \, est \, paire \)
De même pour bn, si f est impaire, f(t)sin(nωt) est paire car f et sin sont impaires, donc :
\(\displaystyle \forall n \gt 1, \, b_n = 2 \times \frac{2}{T} \int\limits_0^{T/2} f(t) sin(n\omega t) dt \)
\(\displaystyle si \, f \, est \, impaire \)
On se servira souvent de ces expressions dans les exercices.
Il existe plusieurs relations entre les coefficients an, bn et cn que tu peux démontrer pour t’entraîner :
\(\displaystyle a_0 = c_0 \)
Et pour tout n > 1 :
\(\displaystyle c_n = \frac{1}{2}(a_n – ib_n) \)
\(\displaystyle c_{-n} = \frac{1}{2}(a_n + ib_n) \)
Ainsi, cn et c-n sont conjugués.
Ces deux équations se montrent en décomposant l’exponentielle en cos + isin dans l’intégrale.
A partir de ces deux équations, on en déduit facilement que :
\(\displaystyle a_n = c_n + c_{-n} \)
\(\displaystyle b_n = i(c_n – c_{-n}) \)
A partir de ces coefficients, on va pouvoir exprimer la série de Fourier de f.
Une fois que l’on a calculé les coefficients de Fourier, on peut alors écrire la somme partielle de la série de Fourier notée SN(f(t)) et définie de la manière suivante :
\(\displaystyle S_N(f)(t) = \sum_{n = -N}^{N} c_n e^{ni\omega t} \)
\(\displaystyle S_N(f)(t) = \sum_{n = 0}^{N} a_n cos(n\omega t) + \sum_{n = 1}^{N} b_n sin(n\omega t) \)
La série de Fourier est tout simplement la limite quand N tend vers +∞ de SN(f) :
\(\displaystyle S(f)(t) = \sum_{n = -\infty}^{+ \infty} c_n e^{ni\omega t} \)
\(\displaystyle S_N(f)(t) = \sum_{n = 0}^{N} a_n cos(n\omega t) + \sum_{n = 1}^{N} b_n sin(n\omega t) \)
Attention, b0 n’existant pas, la somme des bn commence à 1, mais celle des an commence à 0…
On peut donc exprimer la série de Fourier de deux manières différentes, soit avec les coefficients cn, soit avec les coefficients an et bn : tout dépendra de l’exercice.
Une fois que l’on a calculé la série de Fourier, la question est de savoir si f est égale à la série de Fourier ou pas. On aurait ainsi décomposé f en une somme de cosinus et de sinus (ou d’exponentielles).
Rappelons que l’une des conditions pour calculer la série de Fourier de f est que celle-ci soit continue par morceaux.
Pour une telle fonction, aux points de discontinuité, la fonction a une limite à gauche notée f(x–), et une limite à droite notée f(x+).
Exemple :
Pour cette fonction, f(2–) = 9 et f(2+) = 4
Là où la fonction est continue, on a évidemment f(x–) = f(x+)
On appelle régularisée de Dirichlet de f en x la quantité :
\(\displaystyle \frac{f(x^-) + f(x^{+})}{2} \)
Avec ça, on va maintenant pouvoir donner le théorème de Dirichlet :
—
Si une fonction f T-périodique de R dans C est C1 par morceaux, alors la série de Fourier de f converge en tout point vers sa régularisée :
\(\textstyle \forall \, x, \, S(f)(x) = \frac{f(x^-) + f(x^{+})}{2} \)
—
Attention, la condition C1 par morceaux est primordiale !!
Remarque importante : si f est continue en x, f(x–) = f(x+) et donc (f(x+) + f(x–))/2 = f(x).
Ainsi, si f est C1 tout court (et non par morceaux), la demie-somme est égale à f(x), ce qui simplifie la formule.
On peut alors remplacer S(f)(x) par une des deux expressions vues précédemment (celle avec les cn, ou celle avec les an et les bn).
Attention, tu auras peut-être remarqué que dans la somme avec les cn, il n’y a pas de moins dans l’exponentielle, contrairement à l’exponentielle dans l’intégrale permettant le calcul de cn.
La formule de Parseval est une égalité qui va nous permettre de calculer certaines sommes comme nous le verrons dans les exercices.
Les conditions sont les mêmes que pour le calcul des coefficients de Fourier, à savoir que f doit être périodique et continue par morceaux.
On a alors :
\(\displaystyle \frac{1}{T} \int\limits_0^T |f(t)|^2 dt= \sum\limits_{- \infty}^{+ \infty}|c_n|^2 \)
\(\displaystyle \frac{1}{T} \int\limits_0^T |f(t)|^2 dt= (a_0)^2 + \frac{1}{2}(\sum\limits_{n = 1}^{+ \infty}(a_n)^2 + \sum\limits_{n = 1}^{+ \infty}(b_n)^2) \)
Là encore on a deux égalités, une avec les coefficients cn, l’autre avec les an et les bn).
Suivant les exercices, on utilisera plutôt l’une ou l’autre des formules.
ATTENTION !! Certains professeurs préfèrent une autre expression pour a0, qui est :
\(\displaystyle a_0 = \frac{2}{T} \int\limits_0^T f(t)dt \)
La formule de Parseval change alors et devient :
\(\displaystyle \frac{1}{T} \int\limits_0^T |f(t)|^2 dt= (\frac{a_0}{2})^2 + \frac{1}{2}(\sum\limits_{n = 1}^{+ \infty}(a_n)^2 + \sum\limits_{n = 1}^{+ \infty}(b_n)^2) \)
Ces égalités faisant intervenir le carré de f et le carré des coefficients, on l’utilisera souvent quand on veut démontrer une formule où l’on souhaite le carré de l’expression des coefficients, ou quand on a une somme qui ressemble au carré de ce que l’on obtient avec Dirichlet (c’est ce que l’on va voir juste en-dessous dans l’exemple d’application).
Avant de passer aux exercices, voyons un exemple concret d’application de tout ce que l’on a vu jusqu’à présent.
Cet exercice très classique va faire intervenir le calcul des coefficients, le théorème de Dirichlet, la formule de Parseval, et même les propriétés sur les fonctions paires et impaires (en gros tout ce que l’on a vu ci-dessus ! 
)
L’énoncé est le suivant :
Déterminer la série de Fourier de la fonction 2π−périodique définie sur [−π,π] par f(x)=|x|.
En déduire la valeur des sommes suivantes :
\(\displaystyle \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \frac{1}{(2n + 1)^2} \)
\(\displaystyle \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \frac{1}{(2n + 1)^4} \)
Solution :
La première étape est de tracer la fonction afin de voir à quoi elle ressemble :
Nous avons tracé en vert la fonction sur [-π : π], le reste est déduit par périodicité.
On peut voir assez facilement que f est paire et continue. Bien sûr le graphique n’est pas une démonstration, et il faut montrer proprement cette parité et cette continuité, mais à l’oral par exemple le graphique suffit souvent à l’examinateur pour montrer que tu as compris.
f est ainsi continue, donc continue par morceaux, on peut donc calculer ses coefficients de Fourier.
\(\displaystyle a_0 = \frac{1}{T} \int\limits_0^T f(t)dt \)
\(\displaystyle \forall n \gt 1, \, a_n = \frac{2}{T} \int\limits_0^T f(t) cos(n\omega t) dt \)
f étant paire, tous les coefficients bn seront nuls d’après ce que l’on a vu dans le cours, et les coefficients an sont définis par :
Or f étant paire, on avait vu que l’on peut calculer les coefficients sur une demie-période en multipliant par 2 car la fonction intégrée est paire :
\(\displaystyle a_0 = 2 \times \frac{1}{T} \int\limits_0^{T/2} f(t)dt \)
\(\displaystyle \forall n \gt 1, \, a_n = 2 \times \frac{2}{T} \int\limits_0^{T/2} f(t) cos(n\omega t) dt \)
On remplace T par 2π en simplifiant :
\(\displaystyle a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^{\pi} f(t)dt \)
\(\displaystyle \forall n \gt 1, \, a_n = \frac{2}{\pi} \int\limits_0^{\pi} f(t) cos(n\omega t) dt \)
Sur [0 ; π], f(t) = t donc on remplace :
\(\displaystyle a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^{\pi} tdt \)
\(\displaystyle \forall n \gt 1, \, a_n = \frac{2}{\pi} \int\limits_0^{\pi} t cos(n\omega t) dt \)
a0 se calcule facilement, an se calcule avec une intégration par parties que nous ne détaillerons pas car ce n’est pas l’objectif ici. On trouve alors :
\(\displaystyle a_0 = \frac{\pi}{2} \)
\(\displaystyle a_n = \frac{2}{\pi n^2}(cos(n \pi) – 1) \)
Or cos(nπ) = (-1)n, donc cos(nπ) – 1 = 0 si n est pair, et -2 si n est impair.
D’où, pour n ≥ 1 :
\(\displaystyle a_{2n} = 0 \)
Et pour n ≥ 0 :
\(\displaystyle a_{2n + 1} = \frac{-4}{\pi (2n + 1)^2} \)
Attention, tous les coefficients d’indice pair sont nuls sauf a0 !!
Les coefficients de Fourier étant déterminés, on peut maintenant donner la série de Fourier :
\(\displaystyle S(f)(t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_n cos(n\omega t) + \sum_{n = 1}^{+ \infty} b_n sin(n\omega t) \)
Or bn = 0 pour tout n, et T = 2π donc ω = 2π/T = 1, d’où :
\(\displaystyle S(f)(t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_n cos(nt) \)
De plus, an = 0 pour n pair (sauf a0 !!), donc on remplace n par 2k + 1 avec k ≥ 0 :
\(\displaystyle S(f)(t) = a_0 + \sum_{k = 0}^{+ \infty} a_{2k + 1} cos((2k + 1)t) \)
Il n’y a plus qu’à remplacer a0 et a2k + 1 avec l’expression trouvée précédemment :
\(\displaystyle S(f)(t) = \frac{\pi}{2} + \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{-4}{\pi (2n + 1)^2} cos((2k + 1)t) \)
\(\displaystyle S(f)(t) = \frac{\pi}{2} + \frac{-4}{\pi} \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{cos((2k + 1)t)}{(2n + 1)^2} \)
On vient de déterminer la série de Fourier de f !
Il s’agit maintenant de calculer les 2 sommes données dans l’énoncé.
Commençons par la première :
\(\displaystyle \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \frac{1}{(2n + 1)^2} \)
Pour la calculer, nous allons appliquer le théorème de Dirichlet. En effet, f est C1 par morceaux (on ne va pas le montrer mais on va ici l’admettre car ce n’est pas l’objectif de l’exercice), donc on peut appliquer le théorème de Dirichlet, selon lequel f est égale à sa série de Fourier, donc pour tout réel t :
\(\displaystyle f(t) = \frac{\pi}{2} + \frac{-4}{\pi} \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{cos((2k + 1)t)}{(2n + 1)^2} \)
On voit que la somme ressemble à celle que l’on veut calculer, sauf qu’il y a cos((2k + 1)x) dont on aimerait se débarrasser. Pour cela rien de plus simple, il suffit de remplacer t par 0 !
En effet, l’égalité est vraie pour tout t, en particulier pour t = 0 : cette technique de remplacer t par un réel particulier sera souvent employée pour calculer des sommes.
On a donc :
\(\displaystyle f(0) = \frac{\pi}{2} + \frac{-4}{\pi} \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{cos((2k + 1)0)}{(2n + 1)^2} \)
Or f(0) = 0 d’après l’expression de f (on peut le voir aussi sur le tracé de f) :
\(\displaystyle 0 = \frac{\pi}{2} + \frac{-4}{\pi} \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{1}{(2n + 1)^2} \)
On a maintenant la somme que l’on souhaite, il n’y a plus qu’à l’isoler ;
\(\displaystyle \frac{\pi^2}{8} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{1}{(2n + 1)^2} \)
On vient de trouver l’expression recherchée.
Comme tu le vois, le calcul s’est fait en 2 étapes : appliquer le théorème de Dirichlet, puis remplacer la variable par un réel particulier, sachant que l’on prend souvent des valeurs simples comme 0, 1, -1 ou π notamment.
Remarque : ici la variable est t mais ça peut être x par exemple.
Cherchons maintenant la deuxième somme :
\(\displaystyle \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \frac{1}{(2n + 1)^4} \)
On voit qu’il s’agit de la même somme que précédemment mais au carré : dans ce genre de cas, on doit immédiatement penser à la formule Parseval !!
En effet, la formule de Parseval fait intervenir les coefficients au carré, il sera donc très fréquent, quand on veut calculer une somme ressemblant au carré de ce que l’on obtient avec Dirichlet, d’appliquer la formule de Parseval.
f étant continue par morceaux, on peut appliquer la formule de Parseval :
\(\displaystyle \frac{1}{T} \int\limits_0^T |f(t)|^2 dt = |a_0|^2 + \frac{1}{2}(\sum\limits_{n = 1}^{+ \infty}|a_n|^2 + \sum\limits_{n = 1}^{+ \infty}|b_n|^2) \)
|f|2 est paire, on peut donc, comme pour le calcul des coefficients, n’intégrer que sur une demie-période et multiplier par 2.
De plus, bn = 0 pour tout n, et pour les an on fait le même changement que précédemment, d’où :
\(\displaystyle 2 \times \frac{1}{T} \int\limits_0^{T/2} |f(t)|^2 dt= |a_0|^2 + \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^{+ \infty}|a_{2k + 1}|^2 \)
\(\displaystyle \frac{2}{2\pi} \int\limits_0^{\pi} t^2 dt = \frac{\pi^2}{4} + \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^{+ \infty}|\frac{-4}{\pi (2n + 1)^2}|^2 \)
\(\displaystyle \frac{1}{\pi} \int\limits_0^{\pi} t^2 dt = \frac{\pi^2}{4} + \frac{1}{2} \times \frac{16}{\pi^2} \sum\limits_{k = 0}^{+ \infty}\frac{1}{(2n + 1)^4} \)
On a maintenant la somme que l’on souhaite calculer : il ne reste plus qu’à calculer l’intégrale et isoler la somme :
\(\displaystyle \frac{\pi^2}{3} = \frac{\pi^2}{4} + \frac{8}{\pi^2} \sum\limits_{k = 0}^{+ \infty}\frac{1}{(2n + 1)^4} \)
\(\displaystyle \frac{\pi^4}{96} = \sum\limits_{k = 0}^{+ \infty}\frac{1}{(2n + 1)^4} \)
On vient de trouver la deuxième somme !
Contrairement à la somme précédente, pas besoin de remplacer la variable par une valeur particulière, puisqu’il n’y a pas de variable !
Cet exercice est extrêmement classique, à savoir que l’on a une fonction périodique, on demande de calculer la série de Fourier puis d’en déduire des sommes. Ce qui change c’est la définition de la fonction, qui entraîne des calculs différents, et permet donc de calculer des sommes différentes, mais la méthode reste souvent la même, à savoir :
– calcul des coefficients de Fourier
– application du théorème de Dirichlet et remplacement de la variable par une valeur particulière
– application de la formule de Parseval
Nous ferons ce genre d’exercices dans les vidéos disponibles sur le lien ci-dessous, n’hésite pas à t’entraîner ! 
Tu trouveras sur cette page ainsi que sur cette page tous les exercices sur les séries de Fourier !
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