La dérivée

Sommaire

La dérivée, qu’est-ce-que c’est ?
Formules de dérivées
Somme et constantes multiplicatives
Produits et quotients
Les dérivées de fonctions composées
Variations d’une fonction
Lien avec la limite – dérivabilité
Equation de la tangente
Intérêt de la dérivée
Exercices

Introduction
La dérivée est très importante car on s’en sert tout le temps dans les études de fonction.
L’avantage c’est qu’il n’y a pratiquement que des formules à apprendre, et une fois que tu les connais, c’est extrêmement simple !! a

La dérivée, qu’est-ce-que c’est ?
Quand on a une fonction f, on peut calculer une autre fonction que l’on note f ‘ (à prononcer f prime), et qu’on appelle la dérivée. Nous verrons plus tard l’utilité de f ‘.
L’objectif est tout d’abord de savoir comment calculer cette dérivée f ‘ à partir de la fonction f.
Pour cela c’est très simple : on apprend les formules !!

Formules de dérivées
Nous allons te donner un tableau en 2 colonnes, la fonction f à gauche et sa dérivée à droite.
Tu peux apprendre par cœur dès le début ce tableau, mais avec l’habitude et beaucoup d’exercices ça te semblera logique et évident^^

\( f \) \( f’ \) (la dérivée)
\( \text{constante} \) \( 0 \)
\( x \) \( 1 \)
\( x^2 \) \( 2x \)
\( x^3 \) \( 3x^2 \)
\( x^n \) \( n \times x^{n-1} \)
\( \frac{1}{x} \) \( -\frac{1}{x^2} \)
\( \sqrt{x} \) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( \sin(x) \) \( \cos(x) \)
\( \cos(x) \) \( -\sin(x) \)
\( e^x \) \( e^x \)
\( \ln(x) \) \( \frac{1}{x} \)
\( arctan(x) \) \( \frac{1}{1 + x^2} \)

Dans le tableau, ce qu’on appelle constante, c’est un réel, qui ne dépend pas de x, comme 27; ⅔ ; 36,7 ou -8,44

Prenons un exemple :
Si f(x) = x2, alors d’après la formule du tableau, on a f ‘(x) = 2x, tout simplement !

La seule formule qui peut te poser problème est celle de xn.
En fait c’est la formule valable pour toutes les puissances de x : x5, x9, x965, et même les puissances négatives comme x-5 ou x-12

Nous t’indiquons dans cette vidéo sur les dérivées de base une astuce pour retenir cette formule, ainsi que la démonstration de 2 formules du tableau à partir de celle de xn.

Somme de fonctions et constantes multiplicatives

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Et si on a une somme de fonctions ?
C’est facile, on dérive les uns après les autres !

Exemple :

\(\textstyle f(x) = x^5 – x^2 + 12 \)

La dérivée de x5 est 5x4, la dérivée de x2 est 2x, la dérivée de 12 est 0 car 12 est une constante. On a alors :

\(\textstyle f'(x) = 5x^4 – 2x + 0 \)

Comme tu le vois c’est tès simple, on dérive tranquillement chaque terme, il faut juste faire attention à mettre le bon signe à chaque fois (+ ou -).

Et les constantes multiplicatives ?
Ce qu’on appelle constante multiplicative, ce sont les réels qui sont liés aux x.
Par exemple dans

\(\textstyle f(x) = 7x^9 – 8x^3 + 5 \)

le 7 et le 8 sont des constantes multiplicatives, car elles sont liées à des x, tandis que le 5 est une constante tout court, il n’y a pas de x avec lui.

Alors comment fait-on ?
Là aussi c’est très simple, dans la dérivée tu réécris la constante multiplicative et tu dérives tranquillement le reste.

Exemple :

\(\textstyle f(x) = 9x^5 \)

la dérivée de x5 est 5x4, on a donc

\(\textstyle f'(x) = 9\times 5x^4 \)

\(\textstyle f'(x) = 45x^4 \)

Comme tu le vois, on a réécris le 9 et on a ensuite dérivé le x5.
Evidemment après on calcule 9 × 5, on ne laisse surtout pas le 9 × 5x4 comme ça^^

Bien sûr on peut avoir des sommes de fonctions avec des constantes multiplicatives :

\(\textstyle f(x) = 7x^9 – 8x^3 + 5 \)

Et tout naturellement, on dérive chaque terme en recopiant le constante multiplicative à chaque fois :

\(\textstyle f'(x) = 7\times 9x^8 – 8\times 3x^2 + 0 \)

\(\textstyle f'(x) = 63x^8 – 24x^2 \)

Il n’y a aucune difficulté à ce niveau-là, tout semble très logique.
Avec ces exercices en vidéo, ça devrait