La dérivée

Sommaire

La dérivée, qu’est-ce-que c’est ?
Formules de dérivées
Somme et constantes multiplicatives
Produits et quotients
Les dérivées de fonctions composées
Variations d’une fonction
Lien avec la limite – dérivabilité
Equation de la tangente
Intérêt de la dérivée

Introduction
La dérivée est très importante car on s’en sert tout le temps dans les études de fonction.
L’avantage c’est qu’il n’y a pratiquement que des formules à apprendre, et une fois que tu les connais, c’est extrêmement simple !!

La dérivée, qu’est-ce-que c’est ?
Quand on a une fonction f, on peut calculer une autre fonction que l’on note f ‘ (à prononcer f prime), et qu’on appelle la dérivée. Nous verrons plus tard l’utilité de f ‘.
L’objectif est tout d’abord de savoir comment calculer cette dérivée f ‘ à partir de la fonction f.
Pour cela c’est très simple : on apprend les formules !!

Formules de dérivées
Nous allons te donner un tableau en 2 colonnes, la fonction f à gauche et sa dérivée à droite.
Tu peux apprendre par coeur dès le début ce tableau, mais avec l’habitude et beaucoup d’exercices ça te semblera logique et évident^^

Tableau des dérivées
f f ‘

Dans le tableau, ce qu’on appelle constante, c’est un réel, qui ne dépend pas de x, comme 27 ; ⅔ ; 36,7 ou -8,44

Prenons un exemple :
Si f(x) = x2, alors d’après la formule du tableau, on a f ‘(x) = 2x, tout simplement !

La seule formule qui peut te poser problème est celle de xn.
En fait c’est la formule valable pour toutes les puissances de x : x5, x9, x965, et même les puissances négatives comme x-5 ou x-12

Nous t’indiquons dans cette vidéo sur les dérivées de base une astuce pour retenir cette formule, ainsi que la démonstration de 2 formules du tableau à partir de celle de xn.



Somme de fonctions et constantes multiplicatives

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Et si on a une somme de fonctions ?
C’est facile, on dérive les uns après les autres !

Exemple :

La dérivée de x5 est 5x4, la dérivée de x2 est 2x, la dérivée de 12 est 0 car 12 est une constante. On a alors :

Comme tu le vois c’est tès simple, on dérive tranquillement chaque terme, il faut juste faire attention à mettre le bon signe à chaque fois (+ ou -).

Et les constantes multiplicatives ?
Ce qu’on appelle constante multiplicative, ce sont les réels qui sont liés aux x.
Par exemple dans

le 7 et le 8 sont des constantes multiplicatives, car elles sont liées à des x, tandis que le 5 est une constante tout court, il n’y a pas de x avec lui.

Alors comment fait-on ?
Là aussi c’est très simple, dans la dérivée tu réécris la constante multiplicative et tu dérives tranquillement le reste.

Exemple :


la dérivée de x5 est 5x4, on a donc

Comme tu le vois, on a réécris le 9 et on a ensuite dérivé le x5.
Evidemment après on calcule 9 × 5, on ne laisse surtout pas le 9 × 5x4 comme ça^^

Bien sûr on peut avoir des sommes de fonctions avec des constantes multiplicatives :

Et tout naturellement, on dérive chaque terme en recopiant le constante multiplicative à chaque fois :

Il n’y a aucune difficulté à ce niveau-là, tout semble très logique.
Avec ces exercices en vidéo, ça devrait te paraître encore plus limpide

Produits et quotients

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Par contre quand on a des produits ou des quotients de fonctions, ça devient un peu différent^^

Généralement on appelle les 2 fonctions u et v, les formules sont alors les suivantes :

Des exemples s’imposent…

Prenons

On a bien u × v avec u = 2x + 1 et v = x2 – 9
Il est alors recommandé d’écrire u, v, u’ et v’ de la manière suivante :
u = 2x + 1     u’ = 2
v = x2 – 9     v’ = 2x

Il ne reste plus alors qu’à appliquer la formule en remplaçant u, v, u’ et v’ !!!

Comme tu le vois il n’y a aucune difficulté du moment que tu connais la formule !
L’intérêt d’écrire u, u’, v et v’ sous la forme d’un petit tableau comme au-dessus te permet d’avoir les différentes parties regroupées.
Ainsi, après avoir écrit la formule u’v + uv’, ce sera beaucoup plus facile quand tu remplaceras.

Pour te souvenir de la formule, voici un moyen simple : dis-toi « je dérive le 1er et je laisse le 2ème (ce qui te donne u’v), puis je fais l’inverse, je laisse le 1er et jé dérive le 2ème (ce qui donne uv’) ».


ATTENTION !! Il ne faut surtout pas dire que (u × v)’ = u’ × v’.
En gros il ne faut pas dériver bêtement chaque terme, il faut bien appliquer la formule !!

Pour les quotients c’est exactement la même chose, on applique la formule après avoir fait le petit tableau :

u = 5x + 1             u’ = 5
v = x6 + 5x – 2     v’ = 6x5 + 5
Et on applique la formule :

Et là il faut retenir quelque chose de très important : ON NE DEVELOPPE JAMAIS LE DENOMINATEUR !!
La raison principale c’est : à quoi ça sert de développer ??
En effet, rien ne va se simplifier… au numérateur en revanche, on va avoir des termes qui vont se simplifier :

Une fois de plus, une fois que tu connais les formules, il n’y a aucun souci !!

Evidemment un peu d’entraînement avec ces exercices sur les dérivées de produits et de quotients ne feront pas de mal

Les dérivées de fonctions composées

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Déjà, une fonction composée, c’est quoi ?
Et bien ce sont tout simplement 2 fonctions qui sont regroupées ensemble !

Exemple : au lieu d’avoir


on a

Cette 2ème fonction est une fonction composée, puisqu’il y a 2 fonctions « imbriquées », à savoir :

Deux autres exemples : au lieu d’avoir


on a

et au lieu d’avoir


on a

Généralement, la fonction « à l’intérieur » de l’autre (dans le 1er exemple, 8x2 – 5x + 4, dans le 2ème exemple 8x6 +4x7 – 6x, dans le 3ème exemple 5x9 – 2x + 6) est notée u.
Ainsi, la formule générale des fonctions composées est entre autres :


etc…

Pour dériver ce type de fonctions, c’est extrêmement simple !!

On dérive comme si c’était un x et non un u, et on multiplie toujours par u’ !!
Regardons ce que cela donne dans le tableau :

Tableau des dérivées composées
f f ‘

Comme tu le vois c’est EXACTEMENT le même tableau que précédemment mais on a remplacé x par u, et on a multiplié à chaque fois la dérivée par u’.

Evidemment quelques exemples s’imposent, ici nous ferons directement les exemples en vidéo, mais il y en a plein pour que tu puisses t’entraîner beaucoup

Application principale : variations d’une fonction

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Bon la dérivée c’est bien jolie mais à quoi ça sert ??

Et bien c’est très simple :

Un exemple tout simple :

On cherche à faire le tableau de variation de f.
Pour cela, on calcule d’abord f ‘ :

Le but est de savoir le SIGNE de f ‘.
f’ est de la forme ax + b, il suffit donc de savoir quand f ‘ s’annule car on sait construire le tableau de signe d’une fonction de type ax + b.
2x – 6 = 0
2x = 6
x = 3

On peut alors faire le tableau de SIGNE de f’ :

En effet, cela correspond au tableau de signe d’une fonction ax + b avec a > 0

Et maintenant on applique la propriété qu’on a vu juste au-dessus : si f ‘ ≤ 0, la fonction est décroissante, sinon elle est croissante !


ATTENTION !!
Il faut bien voir qu’on fait le tableau de SIGNE de f ‘, mais le tableau de VARIATIONS de f, il ne faut pas mélanger les 2 !!!

Evidemment, si f ‘ change plusieurs fois de signe, f change plusieurs fois de sens de variation. On peut donc imaginer le tableau suivant :

Il y a une chose que tu dois retenir : quand tu fais le signe de f ‘, il faut factoriser au maximum f ‘ !!
En effet, quand on fait le tableau de signe d’une fonction, il faut toujours la factoriser…

Dans ces exercices sur les variations d’une fonction tu verras en détail comment on fait le tableau de variations à partir de la dérivée

Lien avec la limite et dérivabilité

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La dérivabilité, c’est le fait qu’une fonction soit dérivable ou non sur un certain intervalle. Pour cela, on va utiliser les limites.
Normalement tu as du voir les limites au chapitre précédent.
Si ce n’est pas le cas, regarde d’abord ce chapitre sur les limites, sinon tu ne vas pas comprendre grand chose^^

Le lien entre limite et dérivée est très simple : si on a un point d’abscisse a, on a la relation suivante :

Il y a une autre formule équivalente mais qui est moins pratique à utiliser, nous te la donnons juste à titre indicatif pour que tu saches ce que c’est au cas où tu la rencontres :

Bon ok, et ça sert à quoi cette formule ??
Cette formule sert justement à savoir si une fonction est dérivable en un point ou non.

En effet, la fonction f est dérivable en a si


avec k REEL !!

Autrement dit il faut que la limite existe et que cette limite soit finie.
On rappelle que +∞ et -∞ ce n’est pas fini, donc si on obtient ce résultat, ce ne sera pas dérivable…

Attention : la limite ci-dessus n’existe pas forcément, si elle n’existe pas la fonction ne sera pas dérivable en a…

Mais si la limite existe et qu’elle est finie, on peut poser :

Avec un petit exemple ce sera plus simple :
Prenons la fonction racine :

On cherche à savoir si cette fonction est dérivable en a = 0 ou non.
On calcule alors :


car f(0) = √0 = 0

On multiplie alors en haut et en bas par √x pour pouvoir simplifier :

La limite vaut donc +∞, donc la limite n’est pas finie !!
Donc la fonction racine n’est pas dérivable en 0.

Cette partie peut peut-être te sembler un peu dure, mais rassure-toi, ce n’est pas ce qu’il faut retenir en priorité, loin de là !!
D’ailleurs on fait rarement ce genre de calculs, il est beaucoup plus important de savoir calculer la dérivée d’une fonction comme on l’a fait auparavant.

Mais tu peux toujours t’entraîner avec ces exercices sur la dérivabilité d’une fonction, on y trouve notamment une propriété intéressante à connaître, démontrée avec ce qu’on vient de voir.

Equation de la tangente

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Cette histoire de limite et de dérivabilité n’est sûrement pas ce que tu vas utiliser le plus dans ta scolarité.
En revanche, il y a une autre application plus importante de la dérivée : l’équation de la tangente !

Déjà une tangente à une fonction qu’est-ce-que c’est ?
C’est une droite, elle est donc de la forme y = ax + b
Ensuite, cette droite « longe » la courbe de la fonction sans la traverser… bon avec un schéma ce sera plus simple :

Et si on fait un gros zoom, la tangente ne coupe la courbe qu’en un seul point :

Bien sûr si on dézoome, il est possible que la tangente recoupe la courbe mais ce sera assez loin et ça ne nous intéresse pas.

La tangente que tu connais peut-être déjà c’est la tangente à un cercle, qui est perpendiculaire au rayon :


Les 3 droites sont tangentes au cercle (et donc perpendiculaires à un rayon)

Il y a évidemment une infinité de tangentes, en fait il y en a en tout point où la fonction est dérivable.
Pourquoi ?
Et bien tout simplement parce que dans la formule de l’équation de la tangente, il y a la dérivée !

L’équation de la tangente AU POINT D’ABSCISSE « a » est la suivante :

Cette formule est à apprendre PAR COEUR !!!

Néanmoins nous allons te l’expliquer un peu.
En fait, la dérivée de f en a, c’est-à-dire f ‘(a), a une signification graphique :

Or on a vu que la tangente était une droite, et comme son coefficient directeur est f ‘(a), son équation est de la forme :

Par ailleurs, quand x = a, y = f(a) puisque la tangente coupe la courbe en a !
On a donc en remplaçant x par a et y par f(a) :


donc

Et donc en remplaçant le b dans l’équation ci-dessus, on a :


ce qui donne

Et voilà, on a retrouvé l’équation de la formule !!


Attention à ne pas confondre f(a) et f ‘(a) !!
Pour ne pas inverser, dis-toi que le f ‘(a) est avec le x puisque f ‘(a) est le coefficient directeur.
Utilise cela pour te souvenir facilement de la formule.

Dernière chose à noter : si on te demande de donner l’équation d’une tangente en a, il faut donc connaître f ‘(a) et f(a) pour remplacer dans la formule.
Il est alors conseillé de calculer séparemment f ‘, puis f ‘(a) et f(a) également séparemment au lieu d’écrire directement la formule, sinon il y a trop de chose à calculer d’un coup et il y a alors plus de chances que tu fasses des erreurs

Avec ces quelques exemples sur les tangentes, tu verras la méthode complète pour calculer une équation de tangente.

Intérêt de la dérivée
La dérivée est fondamentale car on la retrouve presque tout le temps avec les fonctions !!

Comme on l’a vu, elle permet de connaître l’équation de la tangente, de pouvoir calculer quelques limites de formes indéterminées, et surtout de connaître le sens de variation d’une fonction !!
C’est pour cette dernière application qu’elle est la plus utilisée.

La dérivée est également utile dans les équations différentielles, que l’on voit en Terminale, qui sont des équations reliant une fonction et sa dérivée.
L’intéret est que de nombreux phénomènes physiques sont régis par des équations différentielles, et il faut donc savoir les résoudre pour pouvoir étudier les grandeurs mises en jeu.

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146 réflexions sur “ La dérivée ”

    1. vous expliquez tres bien et surtout avec vos aides sur la Comment resumer, comment travailler, comment travailler, faire le planning et tout vs allez aider bcp de jeunes candidats au Bac. Vraiment Chapeau a vOus

  1. Merci beaucoup pour ces explications, je n’y comprenais rien avant d’avoir vu votre site, les explications sont simples et rendent les dérivées un peu plus faciles

  2. Bonjour

    Je suis avec intérêt vos cours depuis quelque temps.

    Pourquoi, avez-vous réussit à me faire comprendre les mathématiques ? moi qui à l’école, que j’ai quitté , il y a plus de 20 ans , n’ait jamais réussi a dépasser le 0.5/20 en interrogation !. Autant je suis assez bon en calcul mental, et en comptabilité !

    avais-je une mauvaise approche de la matière ?, ou alors je cherchais des complications là ou il y en a pas ? . Reconnaissons aussi que on peut toujours repasser une vidéo tant que l’on veut, et que le cadre domestique est beaucoup plus adapté a la concentration que le cadre d’une classe ou votre attention est sans arrêt perturbée !

    Et là je comprend presque tout !, je perçoit l’intérêt de cette matière assez fascinante , que je vais continuer à apprendre durant mes heures perdus !

    Pourquoi ?, pour le fun tout simplement !, pour le sport comme diraient certains.

    Et aussi par curiosité intellectuelle !, pour voir le niveau que je peux atteindre qui est surement très loin de + l’infini !

    1. Je vous félicite et vous remercie pour votre intérêt pour les mathématiques !
      En espérant que vous découvrirez encore de nombreuses choses 🙂
      Bon courage !

    2. Comme toi, je reprends ces cours alors que j’ai quitté les bancs de l’école il y a 20 ans !
      C’est dans le but de reprendre des études, et j’appréhendais beaucoup… Mais là, tout me reviens facilement grâce à ces explications simples et claires !

    1. Si tu dérives [h²(x)] tu te rends compte que tu retrouves bien la même chose en différenciant, mais ce n’est pas du tout du programme de lycée !

  3. Explications claires, concises et intuitives, chapeau ! 🙂
    Cela manque légèrement de définitions formelles ceci dit. À la lecture de votre article, on comprend comment manipuler tout ça mais pas ce qui se passe derrière.

    1. le problème est que si tu rajoute des définitions « brutes » cela enlèvera le coté intuitif et « vulgaire » justement.
      Je comprends pourquoi tu le veux mais je trouve que c’est une mauvaise idée 🙂

  4. wow, c’est tout simplement extraordinaire vos explications et exemples, j’ai plus appris avec vous au’avec mon prof de math.
    grand merci vraiment

  5. bonjour,
    j’aimerais juste poser une question par rapport a la derivée d’une fonction en un point, j’ai appris une autre formule qui est : (f(a+h)-f(a))/h.
    J’ai une doute je voudrais savoir si les deux formules sont utilisable pour calculer la derivabilité de f ?

  6. Bonsoir,

    Je suis epatee par la clarte de vos expliquations!!!!!
    Je suis en candidat libre, et c’est precisemment ce dont j’ai besoin!
    Il s’agit du premier chapitre sur lequel je tombe car je dois me remettre a niveau pour le bac, et j’ai tout compris du premier coup!

    A propos, savez-vous quels chapitres de maths sont necessaires a la terminale?

    Et connaissez vous des sites de physique-chimie aussi bien expliques que les votres?

    Merci beaucoup!

    1. Merci beaucoup !!
      Tous les chapitres de 1ère sont utiles pour bien comprendre la Terminale…
      Malheureusement je ne connais pas de site de physique/chimie équivalent 🙁
      Bon courage !

  7. A 55 ans, je viens de comprendre l’importance de la notion de « dérivée » qui n’est apparue qu’il y a 300 ans environ, me semble-t-il. Donc pendant 3400 ans ( Mésopotamie à Newton-Leibniz ) l’univers mathématique était réglé en grande partie par le théorème de Pythagore ( théorème connu bien avant Pyt !) et seul les dimensions, les surfaces immobiles étaient calculables . L’apparition de la dérivée à ouvert le monde à l’analyse du mouvement ( des distances, de la thermie etc ) : donc de la 6e à la 2e , on nous condense 3400 ans d’histoire avec pour clé anglaise des maths le théorème de Pyt, de la 1er à la terminale la dérivée devient la clé anglaise du mouvement continu.
    Mon raisonnement est-il bon et dans l’affirmative je peux dire que personne ne me l’a expliqué durant mon secondaire.
    PS : quelle est la troisième clé à la base de la mécanique quantique ( mouvement discontinu) ?

  8. tellement limpide que j’ai du mal à y croire………. on ne peut pas être plus clair. j’invite mon prof et mes camarades à se connecter! mille mercis
    « rien de grand ne se fait sans passion »

  9. Salut!

    Tu pourrais rajouter comme précision qu’il est inutile de développer la dérivée car l’unique but de la dérivée est d’étudier son signe, et pour étudier le signe il faut que l’expression soit factorisée

    Aussi tu peux préciser que pour dériver une fonction, il vaut mieux la développer totalement avant de la dérivée. Car dérivée une somme est plus facile que dériver un produit
    Notamment dans ton exemple : (2x+1)(x^2-9)

  10. félicitations: rien d’autres à dire
    ; il y a plus de 30 ans que j’étais en première et les maths me reviennent grâce à vos explications simples et bien illustrées; Merci

  11. Je vous suis très reconnaissant pour tout ce travail, j’ai tout appris avec vous, je me demande encore pourquoi mon professeur de math travaille encore :/
    Merci encore mille fois!!!

  12. Je vous remercie que je compris sur la chapitre de dérivée depuis ma ne naissance ce aujourd’hui vous avez bien mes résume sur la dérivées est une tre bonne explications

  13. C’est une vraie merveille votre site !!! Franchement, je suis hyper contente d’avoir tombé dessus ; les cours sont si limpides et fluide avec vos claires explications et les mathématiques commencent à sembler à un jeu d’enfant basé principalement sur la logique. Merci énormément ! C’est grave à vous que je comprends presque tous mes cours maintenant. Bisou du Maroc ! < 3

  14. non mais celui qui a fait toutes ces fiches en math merci infiniment… je reprends mes études et les maths c’est assez compliqué pour moi… tout est tellement clair ..!!

  15. Bonsoir.
    je suis retraité du batiment ( bureau d’études) , je reprend les maths par plaisir , je trouve vos cours tres bien expliqués.
    félicitations.

  16. Très bonne explications! J’ai compris mieux avec ceci qu’avec tous les cours de mon professeur ! Il faut croire que votre méthode est plus pratique pour moi , merci encore !

  17. Merci beaucoup pour vos explication franchement elle m ont aide a me souvenir de certaine notion que j avais oublie et de connaitre d autre que je connaissais pas.

  18. Tres bonne explication
    Explication structuré tres pedagogique ca m’a plu j’ai bien compris de grands efforts ont été faits pour faire ce cours je remercie tous les gens qui ont contribué …

  19. Bonjour,
    Je voulais vous dire que ce que vous faite est genial, clair, super ludique et extrêmement intéressant ainsi qu’ avantageux pour prendre un peu d’ avance sur le programme scolaire.
    Vos explications, vos exemples et surtout vos vidéos sont d’ une rigueur et d’ une clarté inébranlable.
    Merci beaucoup pour toute vos explications qui vont au-delà de celle d’ un prof et pour l’ investissement que vous y mettez.
    Bonne continuation.
    Mes sincères salutations

  20. C’est formidable j’apprécie cette manière c’est très limpide. Merci j’ai appris beaucoup des choses merci et je reste fidèle à vous.

  21. Excellentes explications …. 50 ans après le bac ça fait du bien de retourner au bahut !!! … et j’ai ce regret : vos explications sont beaucoup plus claires que celles qui m’ont amenées au bac …. J’aurais eu une meilleure note !!!

  22. Merci énormément ça m’a beaucoup aidé . Le contenu est bon les explications simples et les exemples qui vont avec . Merci encore

  23. Ce cours est vraiment bien fait,
    grâce à ça j’ai pris un peux d’avance sur le programme de S des années de lycée qui m’attendent…
    Mathématiquement.

  24. Bjr

    Je suis tombé par hasard sur ce site et voilà que je me retrouve à redécouvrir une passion que j’ai quitté il y’a 20 ans.
    Je vous félicite pour ces explications simples et claires qui donnent envie d’aller plus loin.
    Au travail !!!

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