Sommaire
Notion de bijection
Qu’est-ce-qu’une fonction réciproque ?
Exemples de fonctions réciproques
Racines et carrés
Graphiquement
Exemples en géométrie
Calcul de la fonction réciproque
Dérivée de la fonction réciproque
Conclusion
L’étude des fonctions réciproques est importante à connaître dans le cadre de l’étude des fonctions en général.
Ce cours explique le principe général des fonctions réciproques, tandis qu’en cliquant sur ce lien tu auras accès à un cours détaillé sur les fonctions arccos, arcsin et arctan qui sont les fonctions réciproques que tu retrouveras le plus souvent.
Il est fortement conseillé de lire le cours ci-dessous avant de lire celui sur arccos, arcsin et arctan 
Avant de parler directement de fonctions réciproques, il faut d’abord dire ce qu’est une bijection.
Une bijection est une application dont tous les éléments de l’ensemble d’arrivée ont un unique antécédent 
Plus clairement, ça veut dire que si on a 2 ensembles, les points sont reliés 2 à 2. Chaque point d’un ensemble est relié à un UNIQUE point de l’autre ensemble :
On dit que f définit une bijection ou que f est une fonction bijective
On voit que les points sont associés de manière unique, dans un sens comme dans l’autre !
Chaque image a un seul antécédent.
f -1 est l’application réciproque de f (on en parlera tout à l’heure).
Par contre, ceci ne représente PAS une bijection :
En effet, k a DEUX antécédents (b et c) alors que L n’en a AUCUN !!
Pour faire simple, une fonction réciproque, c’est l’application « inverse » d’une fonction.
On note souvent f -1 la fonction réciproque de f.
Ces deux fonctions sont des bijections.
Prenons un exemple de la vie courante pour que tu comprennes mieux :
si f est « avancer de 3 pas », f -1 est « reculer de 3 pas ».
si f est « gagner 10 euros », f -1 est « perdre 10 euros ».
Tu l’auras compris, le principe est le suivant : quand on applique f puis f -1 ou f -1 puis f, on revient au point de départ !!
Mathématiquement, cela s’écrit de la manière suivante :
\(\displaystyle f(f^{-1}(x)) = x \)
ou encore
\(\displaystyle f^{-1}(f(x)) = x \)
Prenons l’exemple de tout à l’heure :
On a f(a) = j, et f -1(j) = a.
Calculons alors f(f -1(j)) :
f(f -1(j)) = f(a) (car f -1(j) = a)
f(f -1(j)) = j car f(a) = j
On a donc f(f -1(j)) = j !!
On retrouve notre formule 
Bien sûr on peut faire ça avec tous les autres points^^
Attention cependant !!
Pour les points de gauche (a, b et c) ce sera f -1(f(x)) et pour ceux de droite (j, k et l), ce sera f(f -1(x)).
En effet, f(f -1(a)) ne veut rien dire, car f -1(a) n’existe pas…
Ceci est un détail, si tu n’as pas compris ce n’est pas grave, ne te casse pas la tête avec ça
Dans la partie Cours, il y a 2 fonctions réciproques étudiées en détail : ln et exponentielle.
En effet, on a :
\(\displaystyle ln(e^x) = x \)
et
\(\displaystyle e^{ln(x)} = x \)
On peut dire que les deux fonctions « s’annulent », ou « se compensent » mais ce n’est pas très mathématique de dire ça, c’est plus pour retenir le principe
Pour les fonctions trigonométriques, c’est très simple : on rajoute « arc » devant :
\(\displaystyle arcsin(sin(x)) = x \)
\(\displaystyle sin(arcsin(x)) = x \)
\(\displaystyle arccos(cos(x)) = x \)
\(\displaystyle cos(arccos(x)) = x \)
\(\displaystyle arctan(tan(x)) = x \)
\(\displaystyle tan(arctan(x)) = x \)
La fonction réciproque de sin est donc arcsin, celle de cos est arccos, et celle de tan est arctan, tout simplement !
ATTENTION !! Certaines formules ci-dessus ne sont pas vraies pour tout x, mais seulement sur certains intervalles. Cela est dû aux propriétés de ces fonctions.
Mais ne te prend pas la tête avec ça, tu étudieras tout cela en détails après le bac si tu continues des études de mathématiques. Ici ce qu’il faut retenir c’est le principe général.
Il y a cependant un piège qu’il faut absolument connaître !
Prenons la fonction racine carrée. On pourrait se dire que la fonction réciproque est la fonction carrée, puisque :
\(\displaystyle (\sqrt{x})^2 = x \)
Oui mais voilà, il faudrait que l’inverse soit vrai aussi, c’est-à-dire que
\(\textstyle \sqrt{x^2} = x \)
OR CECI N’EST PAS VRAI !!!
La vraie formule est :
\(\displaystyle \sqrt{x^2} = |x| \)
(|x| est la valeur absolue de x)
Alors comment faire ??
Et bien on sait que si x est positif, |x| = x.
De plus, dans la 1ère formule on avait √x, donc x était positif !!
Les fonctions racine carrée et carrée sont donc bien des fonctions réciproques mais sur R+ !!
Cela est dû notamment au fait que la fonction racine carrée n’est définie que sur
[0 ; +∞[, c’est-à-dire R+
Pour x positif, on a bien :
\(\displaystyle (\sqrt{x})^2 = x \)
et
\(\displaystyle \sqrt{x^2} = x \)
Il en est de même pour toutes fonctions puissances, puisque :
\(\displaystyle (x^a)^{\frac{1}{a}} = x \)
et
\(\displaystyle (x^{\frac{1}{a}})^a = x \)
POUR X POSITIF !!!
La fonction réciproque de xa est donc x1/a mais pour x positif !
A noter une petite particularité, la fonction réciproque de 1/x est… 1/x !!
Puisque :
\(\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{x}} = x \)
Graphiquement c’est très simple, les courbes des représentatives fonctions f et f -1 sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x (la diagonale) :
Les fonctions exponentielle et ln sont réciproques, et donc symétriques par rapport à y = x
Les fonctions carrée et racine carrée sont également réciproques mais seulement sur [0 ; +∞[ !!
La fonction inverse est symétrique par rapport à elle-même, sa récirpoque est donc elle-même^^
En géométrie, il existe également des applications réciproques. Cependant nous parlerons plutôt de « tranformations » et non de fonctions, mais cela revient au même^^
Avec un tableau ce sera plus clair, mais si tu ne sais pas ce qu’est une homothétie ou une rotation, regarde d’abord cette partie du chapitre sur les complexes
| Transformation | Transformation réciproque | Explication |
|---|---|---|
Translation de vecteur  |
Translation de vecteur  |
On « avance » de , puis on « recule » de  |
| Homothétie de centre O et de rapport k | Homothétie de centre O et de rapport 1/k | On multiplie la longueur par k, donc on la divise ensuite par k |
| Rotation de centre O et d’angle θ | Rotation de centre O et d’angle –θ | On tourne dans un sens puis dans l’autre pour revenir au point de départ |
| Symétrie centrale de centre O | Symétrie centrale de centre O | Le symétrique du symétrique c’est… lui-même ! |
| Symétrie axiale d’axe (Δ) | Symétrie axiale d’axe (Δ) | Pareil qu’au-dessus^^ |
Nous allons prendre un petit exemple pour voir comment calculer la fonction réciproque.
Nous ne nous attarderons pas sur certaines hypothèses à vérifier (notamment les intervalles ou tout cela est vrai), ce n’est pas le but, nous allons voir principalement le calcul :
On prend la fonction :
\(\textstyle f(x) = \frac{x}{1 + x} \)
sur ] -1 ; 1]
La méthode est la suivante : au lieu d’écrire
\(\textstyle f(x) = \frac{x}{1 + x} \)
on écrit
\(\textstyle y = \frac{x}{1 + x} \)
(ça revient au-même)
Le but à la fin est d’avoir non pas y = patati patata… mais x = truc muche. Autrement dit le but est d’isoler x.
Et à ce moment-là, la fonction f -1 sera truc muche^^
On a donc :
\(\textstyle y = \frac{x}{1 + x} \)
\(\textstyle y \times (1 + x) = x \)
\(\textstyle y + yx = x \)
\(\textstyle y = x(1 – y) \)
\(\textstyle \frac{y}{1 – y} = x \)
c’est-à-dire
\(\textstyle x = \frac{y}{1 – y} \)
Et voilà, on a bien trouvé x = …
On sait alors que :
\(\textstyle f^{-1}(y) = \frac{y}{1 – y} \)
Le principe est toujours le même, mais les calculs sont parfois beaucoup plus compliqués que ça^^
Terminons avec la dérivée des fonctions réciproques.
Pour calculer la dérivée d’une fonction réciproque, on va utiliser le fait que :
\(\textstyle f(f^{-1}(x)) = x \)
Si on dérive cette expression, on obtient :
\(\textstyle (f^{-1}(x))’ \times f'(f^{-1}(x)) = 1 \)
Il s’agit en effet d’une fonction composée, avec u = f-1(x)
Ainsi, pour tout x tel que f ‘(f-1(x)) ≠ 0, on a :
\(\displaystyle (f^{-1}(x))’ = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \)
Il n’y a plus qu’à appliquer cette formule avec f et f-1(x) !
A noter que comme on a f ‘(f-1(x)) au dénominateur, cette formule est valable pour x tel que f ‘(f-1(x)) ≠ 0 et pour x tel que f-1(x) existe (donc l’ensemble de définition de f-1).
Voyons tout de suite un exemple : prenons f(x) = x3
On sait alors que f-1(x) = x⅓, et que f ‘(x) = 3x2
Ainsi on a :
\(\textstyle (f^{-1}(x))’ = \frac{1}{3(x^{\frac{1}{3}})^2} \)
Soit :
\(\textstyle (f^{-1}(x))’ = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}} \)
On a ainsi trouvé la dérivée de x⅓ 
Tu n’utiliseras certainement pas toutes ces notions dans les contrôles, mais ce chapitre est destiné à te montrer ce qu’est une fonction réciproque.
Il est en effet intéressant de remarquer que des fonctions que tu utilises régulièrement, comme racine ou la fonction carrée, sont symétriques par rapport à la diagonale…
En terminale, on utilise souvent le théorème des valeurs intermédiaires aussi appelé théorème de bijection.
Beaucoup d’élèves utilisent ce théorème sans savoir ce qu’est une bijection… mais maintenant, toi, tu le sais
Pour aller plus loin sur les fonctions réciproques, tu peux aller voir le cours sur les fonctions arccos, arcsin et arctan, ainsi que les exercices sur ce chapitre.
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Merci beaucoup pour cette explication d’une grande qualité sur les fonctions réciproques!!!
merci de m avoir éclairci
un grand merci pour ces explications qui viennent completer les petits vides a propos de ces notions qui n ont pas ete assimillées a 100% durant les cours a l école.
C’est vraiment formidable ce site
Merci !!!
Je me sens vraiment heureux après avoir bien lire cette explication.
MERCI INFINIMENT À VOUS POUR CE BEAU SITE. God bless you !!
Tu viens de me sauver la vie. Merci beaucoup ^^
Frachement ça me donne le courage de continuer a bosser les maths! je vois là une logique! Merci
merci beaucooup pour cette explication detallée.
merci du fond du coeur
Merci Beaucoup 😀
je vous remerçie infiniment pour cette explication.vous venez de m’apporter un de plus sur les fonctions reciproque car j’ai evaluation demain et je m’inquiétais parcequ’on n’avais pas finir ce chapitre
Explication de qualité et très compréhensible !! Merci
C’est super clair, bien expliqué et surtout garni d’exemple simple qui permettent de mieux visualiser. En gros merci a l’auteur 🙂
cette notion est très importante pour le début de prepa 1 ! c’est très clair, et ça m’aide bien! merci beaucoup !!
merci merci
merci bcppp quand mme
Bien expliqué.franchement j’apprécie
merci beacoup
c’est vraiment un bon site et une bonne explication j’aime vraiment votre manière d’expliquer les choses .. je vous souhaite bon courage .. ça ma beaucoup aidé.
c’est très explicite…
merci beaucoup!
j’ai beaucoup aimé
Merci beaucoup pour cette page sur les fonctions réciproques! C’est très bien expliqué !
Vous m’avez bien aidé pour mon DM de maths !
y a rien a dire ce vraiment bien détaille j’apprécie énormément …….merci bcp
Merci beaucoup pour les infos
Merci! Je conprend ce qu’est une fonction réciproque d’une façons plus large maintenant.
je vous remercie beaucoup.
je vous remerci beaucoup pour les explication, cela m’a aidé énormément merci!!!!
merci pour votre aide sa m ‘appris beaucoup sur les fonction.
Si je comprends bien, une bijection entre 2 ensembles impose que ces 2 ensembles aient le même nombre d’éléments
et donc que
le domaine de définition de la fonction réciproque ait le même cardinal que celui de la fonction de départ, non ?
Si c’est vrai, c’est un bon moyen de vérifier si on ne s’est pas trompé dans nos calculs…
Oui tout à fait s’il y a un nombre d’éléments finis !
Par contre tu peux très bien avoir deux ensembles infinis (comme des segments par exemple)
Heureusement qu’il y a des gens comme toi ^^ Un grand merci !
Merci beaucoup ! 🙂
merci
merci beaucoup maintenant je comprends
J’apprécie
Bonjour je rencontre un souci avec une fonction dont je dois trouver la réciproque : f(x) = (1-x^3)^1/5 + 2.
si quelqu’un pourrait m’aider je lui en serai reconnaissant
Passe le 2 de l’autre côté, mets à la puissance 5 pour enlever le 1/5, le reste tu devrais pouvoir y arriver 😉
Félicitations pour ces explications. Vous êtes d’une clarté remarquable. Les fonctions réciproques me donnaient mal à la tête, je n’ai plus besoin d’aspirine. Vous devriez être remboursés par la sécurité sociale.
Remerciements.
Merci beaucoup ! 🙂
merci tu m’a sauvé
Merci bcp ca m’a grv aide j’ai compris mtn comment tracer une courbe f-1
Génial
C est net précis et compréhensible
Merci pour éclaircissement
Je suis parfaitement satisfait pour ce Grand travail !
Ça m’a vraiment été utile !!!
Merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci merci beaucoup beaucoup beaucoup beaucoup beaucoup beaucoup beaucoup beaucoup beaucoup beaucoup beaucoup beaucoup beaucoup beaucoup beaucoup beaucoup beaucoup beaucoup beaucoup beaucoup beaucoup 🙂
merci pour votre explication detaille sur le fonction reciproque