Etude des fonctions arccos, arcsin et arctan

Sommaire

Introduction
La fonction arccos
La fonction arcsin
La fonction arctan
Exercices

Introduction

Dans ce chapitre nous allons étudier les fonctions réciproques des fonctions cosinus et sinus.
Il est conseillé de lire le chapitre sur les fonctions réciproques pour comprendre encore mieux le chapitre, ainsi que le chapitre sur la trigonométrie, puisque le cercle trigonométrique sera évoqué à de nombreuses reprises.

La fonction arccos

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La fonction réciproque de cos est notée arccos, ou parfois cos -1.
Nous allons expliquer pourquoi cette notation de arccos, ne t’inquiète pas

Tout d’abord, la fonction cos faisant une bijection de [0 ; π] dans [-1 ; 1], arccos fait une bijection de [-1 ; 1] dans [0 ; π].

Ainsi arccos est définie sur [-1 ; 1].
Donc arccos(0,8) existe mais pas arccos(2,7) ni arccos (-4,28) par exemple (la calculatrice te mettra ERROR).

De plus arccos est à valeurs dans [0 ; π] :

\(\displaystyle \forall x \in [-1 \, ; \, 1] \, : \, \)

\(\displaystyle 0 \le arccos(x) \le \pi \)

Cela peut être utile pour des tableaux de signe par exemple.

Cela se retient très bien graphiquement avec le cercle trigonométrique.
En effet, si on prend x dans [-1 ; 1] sur l’axe des abscisses, on a un point B correspondant sur le cercle.
La longueur de l’arc de cercle ainsi créé est égale à arccos(x) !

arccos(x) sur le cercle trigonométrique
arccos(x) correspond à l’arc de cercle AB

Arccos(x) correspond à l’arc de cercle, d’où la notation de arccos (ce sera pareil pour arcsin).

D’autres exemples avec l’arc de cercle :

arccos(x) sur le cercle trigonométrique

Par ailleurs, on sait que l’arc de cercle correspond à la valeur lue sur le cercle trigonométrique (car celui-ci est de rayon 1).
Pour lire les valeurs de arccos, on fait donc l’inverse de ce que l’on fait pour lire les valeurs de cos.

Par contre attention, le point B sera toujours dans le demi-cercle supérieur, jamais l’inférieur, donc l’arc de cercle aussi.
Ainsi, on prend le cercle trigonométrique mais uniquement avec les valeurs du demi-cercle supérieur :

On voit que cos(π/3) = 1/2 ou cos(5π/6) = -√3/2 par exemple.

Pour arccos c’est l’inverse : arccos(1/2) = π/3 et arccos(-√3/2) = 5π/6

Comme tu le vois c’est très simple !
Par contre attention à bien prendre les valeurs du demi-cercle supérieur, pas inférieur…

Cette méthode te permet de trouver rapidement la valeur de arccos(x), mais uniquement pour certaines valeurs de x !
En effet, arccos(1/3) par exemple ne correspond à aucune valeur connue sur le cercle, cela se trouve à la calculatrice (ou d’une autre manière suivant l’énoncé).

On peut même aller plus loin sur le graphique.
En effet, arccos est la fonction réciproque de cos, et on a vu que arccos est définie sur [-1 ; 1] à valeurs dans [0 ; π].
Ainsi, d’après le chapitre sur les fonctions réciproques, on a :

\(\displaystyle \forall x \in [-1 \, ; \, 1], \, \forall y \in [0 \, ; \, \pi] \, : \, \)

\(\displaystyle y = arccos(x) \Leftrightarrow x = cos(y) \)

Dans cette formule, le x correspond au x vu précédemment sur les graphes ci-dessus.
Le y correspond quant à lui à la valeur sur le cercle trigonométrique, mais également à l’angle

Ainsi, on a :

\(\displaystyle cos(arccos(x)) = x \)

\(\displaystyle uniquement \, pour \, x \in [-1 ; 1] \)

\(\displaystyle arccos(cos(x)) = x \)

\(\displaystyle uniquement \, pour \, x \in [0 ; \pi] \)

Avec tous ces éléments, on peut trouver plusieurs points et tracer la courbe de la fonction arccos dans un repère :

Comme expliqué dans le cours sur les fonctions réciproques, la courbe de arccos est la symétrique de celle de cos par rapport à y = x, mais uniquement sur la partie où elle est bijective, à savoir [0;π], ce pourquoi cos n’est tracé que sur cet intervalle.
3 valeur particulières sont visibles sur la courbe :
arccos(-1) = π
arccos(0) = π/2
arccos(1) = 0
Ces valeurs sont évidemment les mêmes que celles que l’on trouve avec la méthode du demi-cercle trigonométrique vue précédemment.

Pour terminer sur arccos, calculons sa dérivée.
Toujours d’après le cours sur les fonctions réciproques, la dérivée d’une fonction réciproque se trouve avec la formule valable pour tout x de l’ensemble de définition de f -1 et tel que f ‘(f -1(x)) ne s’annule pas :

\(\textstyle (f^{-1}(x))’ = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \)

On appliquant cette formule avec f = cos et f -1 = arccos, puisque f ‘ = -sin, on a, pour tout x∈]-1;1[

\(\textstyle arccos'(x) = \frac{1}{-sin(arccos(x))} \)

On a dit pour tout x ∈ ]-1;1[ car il s’agit de l’ensemble de définition de arccos, qui est [-1;1], mais privé de -1 et 1 car -sin(arccos(-1)) = -sin(arccos(1)) = 0

Il s’agit donc maintenant de calculer sin(arccos(x)).
On sait que cos2(y) + sin2(y) = 1.
D’où sin2(y) = 1 – cos2(y)
En remplaçant y par arcos(x), on a :
sin2(arccos(x)) = 1 – cos2(arccos(x))
sin2(arccos(x)) = 1 – x2
(car x ∈ ]-1;1[ donc cos(arccos(x)) = x).

On a donc :

\(\textstyle sin(arccos(x)) = \sqrt{1 – x^2} \, \)

\(\textstyle ou \, sin(arccos(x)) = -\sqrt{1 – x^2} \)

Mais comment choisir ??
Il faut tout simplement connaître le signe de sin(arccos(x)).
On a vu que arccos(x) ∈ [0 ; π], or sur cet intervalle le sinus est positif.
Donc sin(arccos(x)) est positif.
D’où :

\(\textstyle sin(arccos(x)) = \sqrt{1 – x^2} \)

Il ne reste plus qu’à remplacer dans l’expression trouvée précédemment :

\(\displaystyle arccos'(x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \)

pour tout x ∈ ]-1;1[

Retiens bien cette démonstration car il n’est pas forcément évident d’apprendre cette formule, surtout que tu peux facilement la confondre avec celle de arcsin(la même formule mais sans le – au numérateur…).

Au passage, avec l’expression on comprend que x ne peut être égal à -1 ou 1, car à ce moment-là le dénominateur vaudrait 0…

Ainsi arccos est dérivable sur ]-1,1[ mais est continue sur [-1,1].

Passons maintenant à arcsin !



La fonction arcsin

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La fonction réciproque de sin est notée arcsin, ou parfois sin -1.
Le arc signifie arc de cercle, comme pour arccos, car là encore arcsin va correspond à un arc de cercle.

Tout d’abord, la fonction sin faisant une bijection de [-π/2 ; π/2] dans [-1 ; 1], arcsin fait une bijection de [-1 ; 1] dans [-π/2 ; π/2].

Ainsi arcsin est définie sur [-1 ; 1], comme arccos.
Donc arcsin(0,8) existe mais pas arcsin(2,7) ni arcsin(-4,28) par exemple (la calculatrice te mettra ERROR).

De plus arcsin est à valeurs dans [-π/2 ; π/2] (contrairement à arccos qui est à valeurs dans [0;π]:

\(\displaystyle \forall x \in [-1;1] : \)

\(\displaystyle \frac{-\pi}{2} \le arcsin(x) \le \frac{\pi}{2} \)

Cela peut être utile pour des tableaux de signe par exemple.

Cela se retient très bien graphiquement, là encore avec le cercle trigonométrique.
En effet, si on prend x dans [-1 ; 1] sur l’axe des ordonnées (et non des abscisses dans le cas de arccos), on a un point B correspondant sur le cercle.
La longueur de l’arc de cercle ainsi créé est égale à arcsin(x) !

arcsin(x) sur le cercle trigonométrique

arcsin(x) correspond à l’arc de cercle AB

Arcsins(x) correspond à l’arc de cercle, d’où la notation de arcsin (comme pour arccos !).

D’autres exemples avec l’arc de cercle :

arccos(x) sur le cercle trigonométrique

Le principe de lecture des valeurs de arcsin sur le cercle est donc le même que pour arccos.

Par contre attention, le point B sera toujours dans le demi-cercle droit, jamais le gauche, donc l’arc de cercle aussi.
Ainsi, on prend le cercle trigonométrique mais uniquement avec les valeurs du demi-cercle droit, avec les valeurs entre -π/2 et π/2 puisque arcsin(x) est compris entre ces deux valeurs.

On voit que sin(π/3) = √3/2 ou sin(-π/6) = -1/2 par exemple.

Pour arcsin c’est l’inverse : arcsin(√3/2) = π/3 et arcsin(-1/2) = -π/6

Comme tu le vois c’est aussi simple que arccos !
Par contre attention à bien prendre les valeurs du demi-cercle droit, pas le gauche…

Cette méthode te permet de trouver rapidement la valeur de arcsin(x), mais uniquement pour certaines valeurs de x !
En effet, arcsin(1/5) par exemple ne correspond à aucune valeur connue sur le cercle, cela se trouve à la calculatrice (ou d’une autre manière suivant l’énoncé).

On peut même aller plus loin sur le graphique.
En effet, arcsin est la fonction réciproque de sin, et arcsin est définie sur [-1 ; 1] à valeurs dans [-π/2 ; π/2].
Ainsi, d’après le chapitre sur les fonctions réciproques, on a :

\(\displaystyle \forall x \in [-1 \, ; \, 1], \, \forall y \in [-\frac{\pi}{2} \, ; \, \frac{\pi}{2}] \, : \)

\(\displaystyle y = arcsin(x) \Leftrightarrow x = sin(y) \)

Dans cette formule, le x correspond au x vu précédemment sur les graphes ci-dessus.
Le y correspond quant à lui à la valeur sur le cercle trigonométrique, mais également à l’angle

Ainsi, on a :

\(\displaystyle sin(arcsin(x)) = x \)

uniquement pour x ∈ [-1 ; 1]

\(\displaystyle arcsin(sin(x)) = x \)

uniquement pour x ∈ [-π/2 ; π/2]

Avec tous ces éléments, on peut trouver plusieurs points et tracer la courbe de la fonction arcsin dans un repère :

Comme expliqué dans le cours sur les fonctions réciproques, la courbe de arcsin est la symétrique de celle de sin par rapport à la droite d’équation y = x, mais uniquement sur la partie où elle est bijective, à savoir sur [-π/2;π/2], ce pourquoi sin n’est tracé que sur cet intervalle.
3 valeur particulières sont visibles sur la courbe :
arcsin(-1) = -π/2
arcsin(0) = 0
arcsin(1) = π/2
Ces valeurs sont évidemment les mêmes que celles que l’on trouve avec la méthode du demi-cercle trigonométrique vue précédemment.

Par ailleurs, on voit que la fonction arcsin est impaire :

\(\displaystyle \forall \, x \in [-1 ; 1] \)

\(\displaystyle arcsin(-x) = – arcsin(x) \)

Pour terminer sur arcsin, calculons sa dérivée.
La méthode sera évidemment la même que pour arccos.
On a vu que la dérivée d’une fonction réciproque se trouve avec la formule valable pour tout x de l’ensemble de définition de f -1 et tel que f'(f -1(x)) ne s’annule pas :

\(\textstyle (f^{-1}(x))’ = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \)

On appliquant cette formule avec f = sin et f -1 = arcsin. Puisque f ‘ = cos, on a, pour tout x ∈ ]-1;1[

\(\textstyle arcsin'(x) = \frac{1}{cos(arcsin(x))} \)

On a dit pour tout ∈ ]-1;1[ car il s’agit de l’ensemble de définition de arcsin ([-1;1]) mais privé de -1 et 1 car cos(arcsin(-1)) = cos(arcsin(1)) = 0

Il s’agit donc maintenant de calculer cos(arcsin(x)).
On sait que cos2(y) + sin2(y) = 1.
D’où cos2(y) = 1 – sin2(y)
En remplaçant y par arsin(x), on a :
cos2(arcsin(x)) = 1 – sin2(arcsin(x))
cos2(arcsin(x)) = 1 – x2
(car x ∈ ]-1;1[ donc sin(arcsin(x)) = x).

On a donc :

\(\textstyle cos(arcsin(x)) = \sqrt{1 – x^2} \, \)

\(\textstyle ou \, cos(arcsin(x)) = -\sqrt{1 – x^2} \)

Mais comment choisir ??
Il faut tout simplement connaître le signe de cos(arcsin(x)).
On a vu que arcsin(x) ∈ [-π/2 ; π/2], or sur cet intervalle le cosinus est positif.
Donc cos(arcsin(x)) est positif.
D’où :

\(\textstyle cos(arcsin(x)) = \sqrt{1 – x^2} \)

Il ne reste plus qu’à remplacer dans l’expression trouvée précédemment :

\(\displaystyle \forall \, x \in [-1 ; 1] \)

\(\displaystyle arcsin'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)

pour tout x ∈ ]-1;1[

On trouve la même dérivée que pour arccos mais sans le – au numérateur !
Retiens bien cette démonstration car il n’est pas forcément évident d’apprendre cette formule, surtout que tu peux facilement la confondre avec celle de arccos…

Au passage, avec l’expression on comprend que x ne peut être égal à -1 ou 1, car à ce moment-là le dénominateur vaudrait 0…

Ainsi arcsin est dérivable sur ]-1,1[ mais est continue sur [-1,1], comme arccos !



La fonction arctan

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Si l’étude des fonctions arccos et arcsin est similaire, celle de arctan est un peu différente.

La fonction réciproque de tan est notée arctan, ou parfois tan -1.
Là encore nous expliquerons pourquoi cette notation de arctan.

Tout d’abord, la fonction tan faisant une bijection de ]-π/2 ; π/2[ dans \mathbb{R} , arctan fait une bijection de \mathbb{R} dans ]-π/2 ; π/2[.

Ainsi arctan est définie sur \mathbb{R} (c’est une grosse différence avec arccos et arcsin).

De plus arctan est à valeurs dans ]-π/2 ; π/2[ :

\(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R} : \)

\(\displaystyle \frac{-\pi}{2} \lt arctan(x) \lt \frac{\pi}{2} \)

Cela peut être utile pour des tableaux de signe par exemple.

Cela se retient très bien graphiquement avec le cercle trigonométrique.
En effet, on trace la verticale passant par le point (1 ; 0), qui correspond à 0 radian : on a ainsi un axe vertical dirigé vers le haut.
On prend x et on le place sur cet axe vertical : on obtient un point B sur l’axe.
On trace (OB), ce qui délimite un arc de cercle : la longueur de cet arc de cercle ainsi créé est égale à arctan(x) !

arctan(x) sur le cercle trigonométrique

arctan(x) correspond à l’arc de cercle AB

Arctan(x) correspond à l’arc de cercle, d’où la notation de arctan, comme pour arccos et arcsin !

D’autres exemples avec l’arc de cercle (le cas de droite représente le cas x <0 ):

arctan(x) sur le cercle trigonométrique

A noter que, quand x < 0 comme dans le cas de droite, l'arc de cercle est compté négativement, donc arctan(x) < 0. Contrairement à arccos et arcsin, il est difficile de lire graphiquement les valeurs de tan et arctan. Par contre attention, l'arc de cercle sera toujours dans le demi-cercle droit, jamais le gauche.
Ainsi, on prend le cercle trigonométrique mais uniquement avec les valeurs du demi-cercle droit, comme pour arcsin, car arctan est à valeurs dans ]-π/2 ; π/2[ :

On peut aller plus loin sur le graphique.
En effet, arctan est la fonction réciproque de tan, et on a vu que arctan est définie sur \mathbb{R} à valeurs dans ]-π/2 ; π/2[.
Ainsi, d’après le chapitre sur les fonctions réciproques, on a :

\(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in ]-\pi/2 \, ; \, \pi/2[ \, : \)

\(\displaystyle y = arctan(x) \Leftrightarrow x = tan(y) \)

Dans cette formule, le x correspond au x vu précédemment sur les graphes ci-dessus.
Le y correspond quant à lui à la valeur sur le cercle trigonométrique, mais également à l’angle

Ainsi, on a :

\(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R} \, : \)

\(\displaystyle tan(arctan(x)) = x \)

\(\displaystyle \forall \, x \in ]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}[ \)

\(\displaystyle arctan(tan(x)) = x \)

Avec tous ces éléments, on peut trouver plusieurs points et tracer la courbe de la fonction arcctan dans un repère :

Courbes des fonctions tan et arctan

Comme expliqué dans le cours sur les fonctions réciproques, la courbe de arctan est la symétrique de celle de tan, mais uniquement sur la partie où elle est bijective, à savoir sur l’intervalle ]-π/2;π/2[, ce pourquoi tan n’est tracé que sur cet intervalle.

Comme le graphique précédent est un peu chargé, nous l’avons refait avec uniquement la fonction arctan pour que tu visualises mieux la fonction :

Courbe de la fonction arctan arctangente

3 valeur particulières sont visibles sur la courbe :
arctan(0) = 0
arctan(1) = π/4
arctan(-1) = -π/4

On peut également parler des limites :

\(\displaystyle \lim_{x \to + \infty} arctan(x) = \frac{\pi}{2} \)

\(\displaystyle \lim_{x \to – \infty} arctan(x) = -\frac{\pi}{2} \)

On a donc deux asymptotes horizontales : y = π/2 en +∞ et y = -π/2 en -∞.

De plus, on voit sur la courbe que arctan est impaire :

\(\displaystyle arctan(-x) = – arctan(x) \)

Pour terminer sur arctan, calculons sa dérivée.
La méthode sera évidemment la même que pour arccos et arcsin.
On a vu que la dérivée d’une fonction réciproque se trouve avec la formule valable pour tout x de l’ensemble de définition de f -1 et tel que f ‘(f -1(x)) ne s’annule pas :

\(\textstyle (f^{-1}(x))’ = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \)

On appliquant cette formule avec f = tan et f -1 = arctan. Puisque f ‘ = 1 + tan2, on a, pour tout x ∈ \mathbb{R} :

\(\textstyle arctan'(x) = \frac{1}{1 + tan^2(arctan(x))} \)

\(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R} \)

\(\displaystyle arctan'(x) = \frac{1}{1 + x^2} \)

Retiens bien cette démonstration car il n’est pas forcément évident d’apprendre cette formule, et elle se retrouve souvent (en particulier dans les calculs d’intégrales…).

Au passage, avec l’expression on comprend que arctan’ est bien définie sur \mathbb{R} .

Ainsi arctan est définie et dérivable sur \mathbb{R} .

Il est temps désormais de passer aux exercices !



Exercices

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