La valeur absolue

Sommaire

La valeur absolue, qu’est-ce-que c’est ?
Propriétés
Propriété fondamentale
Application la plus courante
Cas des inégalités
Explication graphique
Inégalité triangulaire et distance
La fonction valeur absolue
Intérêt de la valeur absolue

Introduction
La valeur absolue n’est pas un gros chapitre du programme. C’est juste un outil assez simple mais assez important pour y consacrer une page.
En effet, il existe des pièges liés à la valeur absolue qu’il faut absolument connaitre afin de les éviter !!!

La valeur absolue, qu’est-ce-que c’est ?
La valeur absolue d’un nombre a se note entre deux barres verticales : |a|
|a| se lit « valeur absolue de a », |x| se lit « valeur absolue de x », etc…
Ca ce n’est pas trop dur^^

Maintenant il s’agit de calculer cette valeur absolue.
Le principe est très simple :

Avec quelques exemples ça te semblera d’une simplicité déconcertante !!


car 4 > 0


car 367 > 0


car -5 < 0


car -62,4 < 0

Cela est bien sur valable pour les fractions, les entiers, les réels…
Pour faire simple, on peut dire que la valeur absolue est la « version positive » d’un nombre, mais ce n’est absolument pas mathématique de dire ça, c’est juste pour que tu comprennes le principe^^

Propriétés

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La valeur absolue possède certaines propriétés assez simples à connaître.

Tout comme la racine carrée, on peut « séparer » en deux quand on a des produits et des fractions :

Il y a également des propriétés avec les carrés :


normal car a2 est positif, donc on peut enlever la valeur absolue


car a2 ou (-a)2, c’est la même chose

Une autre propriété que l’on utilisera tout à l’heure :


avec k réel positif

Exemple, si on doit résoudre :
|x| = 4, alors x = 4 ou x = -4
|x| = 7, alors x = 7 ou x = -7.

PAR CONTRE

Exemple, si on doit résoudre :
|x| = -5, il n’y a pas de solution.
|x| = -12, il n’y a pas de solution.

Evidemment, on a :


puisqu’on a dit que |a| est la « version positive » de a

Il y a une autre propriété EXTREMENT importante, ce pourquoi nous avons fait une partie séparée juste après pour en parler.
Nous ferons alors des exercices en vidéo après cela.

Propriété fondamentale

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Nous allons maintenant voir une propriété très importante qui est la source de nombreux pièges et de nombreuses erreurs dans les copies. Retiens-donc bien ce qui suit.

Il y a une formule que tu dois déjà connaître :

jusque-là pas de problème.

En revanche :

Il est impératif que tu retiennes cette formule et que tu n’oublies pas la valeur absolue !!!


Attention !!! Il ne faut surtout pas dire

Cette formule n’est vraie que si a > 0, ce qui n’est pas forcément le cas tout le temps !!

Et pourquoi |a| et non pas a ?
La raison est toute simple : la racine de a2 est positive puisque c’est une racine, mais comme a ne l’est pas forcément, il faut prendre la « version positive » de a, c’est-à-dire sa valeur absolue^^

Voyons quelques exemples :




Si on disait que

on aurait des égalités du style

On aurait donc une racine carrée négative…

Mais alors pourquoi on aurait pas la formule

Tout simplement parce que dans cette formule on a √a, ce qui veut dire que a est forcément positif !!
Il n’y a donc pas besoin de valeur absolue…

En fait, la formule


n’est valable que pour a > 0

Alors que la formule


est valable pour tout a, positif ou négatif

Application la plus courante

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Tu auras surtout à utiliser la valeur absolue dans des égalités, voire inégalités quand la variable que tu cherches est au carré.

Petit exemple :

On résoud tranquillement :

Et c’est là que tout le monde se trompe, la plupart des élèves se disent « on applique la fonction racine pour enlever le carré » :

Et bien sûr c’est la dernière ligne qui est fausse, puisqu’en réalité la dernière ligne devrait être :


puisque

On utilise alors la propriété qu’on a vue tout à l’heure :

Ici ça nous donne


ou

Il y a donc 2 solutions à l’équation, et c’est souvent le contexte de l’exercice qui permet de dire quelle solution est la bonne.

Normalement tu as déjà dû voir cela en 3ème, tu disais alors, par exemple :


alors


ou

Tu rédigeais comme cela directement sans passer par la valeur absolue, maintenant tu sais d’où ça vient^^

Si tu veux être sûr de ne pas te tromper, tu peux toujours faire la méthode de la factorisation.
Si par exemple tu dois résoudre


tu passes tout à gauche


et tu factorises

C’est une autre technique un peu plus longue mais au moins tu es sûr de ne pas oublier de solution !

Bon il est maintenant temps de faire PLEIIIIIN d’exercices en vidéo, avec le nombre d’exemples qu’il y a, tu ne devrais plus avoir de soucis

Cas des inégalités

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Pour les égalités, on vient de le voir, c’est assez simple.
Pour les inégalités en revanche, c’est un peu différent !

Les formules sont les suivantes :


avec k positif, alors

Exemple :


alors

Il y a bien sur également le cas contraire :


avec k positif, alors

Exemple :


alors


ou

On ne se sert pas souvent de ces formules au lycée donc ne te casse pas trop le tête avec ça, retiens plutôt les propriétés vues précédemment.
Nous allons voir graphiquement l’explication de toutes ces formules, tu comprendras beaucoup mieux et tu retiendras ainsi beaucoup plus facilement.

Explication graphique

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Nous allons résoudre graphiquement les équations dont on a parlé précédemment, tu comprendras alors d’où viennent les formules^^

Pour résoudre x2 = k, on trace la fonction y = x2 et la droite d’équation y = k :

On voit bien que les deux courbes se coupent en 2 points, il y a donc 2 solutions : √k et -√k.

Pour résoudre x2 ≤ k, on fait de même :
comme x2 ≤ k, c’est la partie sous le k de la fonction carrée (la partie rouge) qui nous intéresse.
On voit que cela correspond alors à la partie bleue, c’est-à-dire l’intervalle [-√k ; +√k]

Pour résoudre x2 ≥ k, c’est sensiblement la même chose, sauf que là, c’est la partie au-dessus du k (en rouge) qui nous intéresse :

On voit alors qu’il y a 2 intervalles possibles : ]-∞ ; -√k] et [√k ; +∞[, ce qu’on avait dit tout à l’heure.

Inégalité triangulaire et distance

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L’inégalité triangulaire est la formule suivante :

Pour comprendre cette inégalité, il suffit de voir son explication géométrique en termes de vecteurs :

On sait très bien que dans un triangle, la somme de 2 côtés doit être supérieure au 3ème, ce qui nous donne la formule.

Mais dans la formule il y a la valeur absolue.
Ceci est dû au fait que la valeur absolue représente la distance entre 2 points :

Avec un exemple et une droite graduée on voit bien le principe :


et en effet, la distance entre 5 et 3 est bien 2 :

De même pour 4 et -3 :


et en effet, la distance entre 4 et -3 est bien 7 :

Tu verras en Terminale qu’on fait exactement pareil avec les complexes.
Mais généralement on n’utilise pas trop cela au lycée, c’est surtout les propriétés vues précédemment qui sont importantes.

La fonction valeur absolue

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La fonction valeur absolue, c’est-à-dire f(x) = |x|, n’est pas forcément à connaître, ce qu’il faut savoir c’est comment manipuler et calculer des valeurs absolues.
Nous allons cependant te présenter à quoi ressemble la courbe, juste pour ta culture mathématique

En effet, on a vu que la valeur absolue était définie de la manière suivante :


et

La courbe est donc composée des courbes de y = -x sur ]-∞ ; 0[ et y = x sur ]0 ; +∞[

On peut voir graphiquement une petite propriété vue tout à l’heure :

Graphiquement :

On voit bien que si |x| = k il y a 2 solutions : x = k ou x = -k.

Une petite remarque qui n’est pas fondamentale : la fonction valeur absolue est continue en 0 mais n’est pas dérivable en 0, la dérivée à gauche n’étant pas la même que la dérivée à droite.

Intérêt de la valeur absolue
On l’a vu, la valeur absolue sert principalement dans les égalités ou inégalités ou l’inconnue est au carré.

Mais on s’en sert également dès qu’on a besoin de la « version positive » d’un nombre, notamment en physique, quand on cherche la norme de vecteurs représentant des forces par exemple.

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34 réflexions sur “ La valeur absolue ”

  1. Je vous remercie du fond du coeur pour votre aide que Dieu nous progresse notre connaissance durant notre vie dans ce monde dont Il nous a laissé .

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