Sommaire
Démonstration de Cauchy-Schwarz
Autre démonstration de Cauchy-Schwarz
Application classique
Autre application
Démonstration de l’inégalité de Hölder
Dans cette vidéo nous allons démontrer l’inégalité suivante, appelée inégalité de Cauchy-Schwarz.
Soit E un espace vectoriel, alors pour tout (u ; v) appartenant à E2 :
Dans quels cas cette inégalité est-elle une égalité ?
Remarque : < u ; v > représente le produit scalaire de u et de v, ||u|| représente la norme de u.
Nous allons montrer ici deux cas particuliers de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Soit (u1, u2… un) et (v1, v2… vn) appartenant à Cn.
Montrer que :
Soit f et g deux fonctions de C([0;1]).
Montrer que :
Pour le premier exercice nous allons voir une application classique.
Soit (x1, x2, x3…xn) une famille de Rn. Montrer que :
Dans quels cas cette inégalité est-elle une égalité ?
On suppose ensuite que les termes x1, x2, x3…xn sont strictement positifs, et que :
Montrer que :
Dans quels cas cette inégalité est-elle une égalité ?
Autre exercice d’application de l’inégalité de Cauchy-Schwarz : soit (x ; y ; z) appartenant à R3.
Montrer que :
Soit (u1, u2… un) et (v1, v2… vn) appartenant à Cn.
Montrer que pour tous réels strictement positifs p et q tels que 1/p + 1/q = 1, on a :
Cette inégalité est appelée l’inégalité de Hölder, cas général de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
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