Inégalité de Cauchy-Schwarz : démonstration et exercices

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Démonstration
Application classique
Autre application

Démonstration

Dans cette vidéo nous allons démontrer l’inégalité suivante, appelée inégalité de Cauchy-Schwarz.
Soit E un espace vectoriel, alors pour tout (u ; v) appartenant à E² :

$|\lt u \, ; \, v \gt| \le ||u|| \, \times \, ||v||$

Dans quels cas cette inégalité est-elle une égalité ?

Remarque : < u ; v > représente le produit scalaire de u et de v, ||u|| représente la norme de u.

Application classique

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Pour le premier exercice nous allons voir une application classique.
Soit (x₁, x₂, x₃…x_n) une famille de Rⁿ. Montrer que :

$\displaystyle (\sum_{k = 1}^n x_k)^2 \le n \sum_{k = 1}^n (x_k)^2$

Dans quels cas cette inégalité est-elle une égalité ?

On suppose ensuite que les termes x₁, x₂, x₃…x_n sont strictement positifs, et que :

$\displaystyle \sum_{k = 1}^n x_k = 1$

Montrer que :

$\displaystyle \sum_{k = 1}^n \frac{1}{x_k} \ge n^2$

Dans quels cas cette inégalité est-elle une égalité ?

Autre application

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Autre exercice d’application de l’inégalité de Cauchy-Schwarz : soit (x ; y ; z) appartenant à R³.
Montrer que :

$2x^2 + y^2 + 5z^2 \le 1 \Rightarrow (x + y + z)^2 \le \frac{17}{10}$

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Inégalité de Cauchy-Schwarz : démonstration et exercices

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