Inégalité de Cauchy-Schwarz et Hölder : démonstration et exercices

Sommaire

Démonstration de Cauchy-Schwarz
Autre démonstration de Cauchy-Schwarz
Application classique
Autre application
Démonstration de l’inégalité de Hölder

Démonstration de Cauchy-Schwarz

Dans cette vidéo nous allons démontrer l’inégalité suivante, appelée inégalité de Cauchy-Schwarz.
Soit E un espace vectoriel, alors pour tout (u ; v) appartenant à E² :

$|\lt u \, ; \, v \gt| \le ||u|| \, \times \, ||v||$

Dans quels cas cette inégalité est-elle une égalité ?

Remarque : < u ; v > représente le produit scalaire de u et de v, ||u|| représente la norme de u.

Autre démonstration

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Nous allons montrer ici deux cas particuliers de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Soit (u₁, u₂… u_n) et (v₁, v₂… v_n) appartenant à Cⁿ.
Montrer que :

$\displaystyle \sum_{k = 1}^n |u_k \, v_k| \le (\sum_{k = 1}^n |u_k|^2)^{\frac{1}{2}} \times (\sum_{k = 1}^n |v_k|^2)^{\frac{1}{2}}$

Soit f et g deux fonctions de C([0;1]).
Montrer que :

$\displaystyle \int\limits_{0}^{1} |fg| \le (\int\limits_{0}^{1} |f|^2)^{\frac{1}{2}} \times (\int\limits_{0}^{1} |g|^2)^{\frac{1}{2}}$

Application classique

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Pour le premier exercice nous allons voir une application classique.
Soit (x₁, x₂, x₃…x_n) une famille de Rⁿ. Montrer que :

$\displaystyle (\sum_{k = 1}^n x_k)^2 \le n \sum_{k = 1}^n (x_k)^2$

Dans quels cas cette inégalité est-elle une égalité ?

On suppose ensuite que les termes x₁, x₂, x₃…x_n sont strictement positifs, et que :

$\displaystyle \sum_{k = 1}^n x_k = 1$

Montrer que :

$\displaystyle \sum_{k = 1}^n \frac{1}{x_k} \ge n^2$

Dans quels cas cette inégalité est-elle une égalité ?

Autre application

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Autre exercice d’application de l’inégalité de Cauchy-Schwarz : soit (x ; y ; z) appartenant à R³.
Montrer que :

$2x^2 + y^2 + 5z^2 \le 1 \Rightarrow (x + y + z)^2 \le \frac{17}{10}$

Démonstration de l’inégalité de Hölder

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Soit (u₁, u₂… u_n) et (v₁, v₂… v_n) appartenant à Cⁿ.
Montrer que pour tous réels strictement positifs p et q tels que 1/p + 1/q = 1, on a :

$\displaystyle \sum_{k = 1}^n |u_k||v_k| \le (\sum_{k = 1}^n |u_k|^p)^{\frac{1}{p}} \times (\sum_{k = 1}^n |v_k|^q)^{\frac{1}{q}}$

Cette inégalité est appelée l’inégalité de Hölder, cas général de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

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Inégalité de Cauchy-Schwarz et Hölder : démonstration et exercices

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