Inégalité de Cauchy-Schwarz : démonstration et exercices

Sommaire

Démonstration
Application classique
Autre application

Démonstration

Dans cette vidéo nous allons démontrer l’inégalité suivante, appelée inégalité de Cauchy-Schwarz.
Soit E un espace vectoriel, alors pour tout (u ; v) appartenant à E2 :

Dans quels cas cette inégalité est-elle une égalité ?

Remarque : < u ; v > représente le produit scalaire de u et de v, ||u|| représente la norme de u.

Application classique

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Pour le premier exercice nous allons voir une application classique.
Soit (x1, x2, x3…xn) une famille de Rn. Montrer que :

Dans quels cas cette inégalité est-elle une égalité ?

On suppose ensuite que les termes x1, x2, x3…xn sont strictement positifs, et que :

Montrer que :

Dans quels cas cette inégalité est-elle une égalité ?

Autre application

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Autre exercice d’application de l’inégalité de Cauchy-Schwarz : soit (x ; y ; z) appartenant à R3.
Montrer que :

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