La transformée de Laplace

Sommaire

Introduction
Calcul de la transformée de Laplace
Formules à connaître
Propriétés
Lien avec la dérivée
Exercices

Introduction

La transformée de Laplace est surtout utilisée en SI (Sciences de l’Ingénieur), mais on peut également s’en servir en Physique-chimie pour la résolution d’équations différentielles.
Dans ce cours nous verrons essentiellement les calculs et formules à connaître, nous ne détaillerons pas trop les conditions mathématiques d’existence des transformées de Laplace (parfois abrégé TL dans ce cours).
La TL d’une fonction f est une autre fonction, souvent notée F (à ne surtout pas confondre avec la primitive souvent notée F également…).
On pourra aussi utiliser la notation TL(f) pour désigner F : TL(f) = F.
Sauf que f et F ne dépendent pas de la même variable : f dépend d’une variable réelle que l’on notera t, tandis que p dépend d’une variable complexe que l’on note p.
On dira donc que F(p) est la transformée de Laplace de f(t) : TL(f(t)) = F(p)
On utilisera parfois une fonction g, et de la même manière on notera sa TL G : TL(g(t)) = G(p)
Quand on fait des raisonnements avec F au lieu de f, on dit qu’on est dans le domaine de Laplace.
Voyons comment calculer F(p).

Calcul de la transformée de Laplace

Si la variable de f est notée t, ce n’est pas par hasard. En SI ou en Physique-chimie, f représentera une fonction du temps, d’où la variable t !
La formule ci-dessous pour calculer F n’est valable que si f(t) = 0 pour t < 0.
Si f est la vitesse de rotation d’un arbre moteur par exemple, cela signifie que l’arbre ne commence à tourner qu’à partir de t = 0.
On a alors la formule :


pour p complexe et t réel

Remarque : si p est imaginaire pur, on retrouve la formule de la série de Fourier étudiée dans un autre chapitre.

En SI comme en Physique-chimie, il est rare que l’on ait à calculer la TL d’une fonction, on se servira directement des formules décrites dans le tableau ci-après.

Formules à connaître

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Le tableau ci-dessous récapitule les fonctions f rencontrées le plus souvent dans les exercices avec leurs transformées de Laplace.
Tu peux calculer les TL en utilisant la formule précédente pour t’entraîner !

f(t) F(p)
k (constante)
t
tn (n entier naturel)
tα-1 (pour tout réel α > 0)
cos(bt)
sin(bt)
ebt

Remarque : la fonction Γ présente dans le tableau est la fonction Gamma définie par :

Ces formules sont à connaître par cœur (sauf si tu veux les redémontrer à chaque fois )
Mais ce n’est pas tout ! D’autres formules sont à connaître, nous allons voir lesquelles.



Propriétés

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En plus de ces fonctions de référence, deux propriétés classiques s’appliquent aux transformées de Laplace.
Tout d’abord, les retards.
En effet, f étant une fonction dépendant du temps, il peut arriver qu’il y ait un retard, que l’on notera a.
Si on a un retard « a » on a donc f(t – a).
Dans la transformée de Laplace, cela se traduit par une multiplication par e-ap :

Exemple : prenons f(t) = t².
D’après le tableau, F(p) = 2/p3.

Prenons alors g(t) = f(t-5), soit g(t) = (t-5)²
D’après la formule, on a donc G(p) = 2e-5p/p3.

Ce n’est pas plus compliqué que ça !
Réciproquement, imaginons que l’on multiplie f(t) par eat (attention, pas de signe – !!).
Cela se traduit dans la TL par un « retard) de a !


ATTENTION !! Il n’y a pas de signe – dans l’exponentielle contrairement à la formule précédente.
Cela est notamment dû au fait que quand on passe l’exponentielle de l’autre côté de l’égalité, on divise par et, ce qui revient à multiplier par e-t (attention, cette explication est juste un moyen mnémotechnique pour se rappeler qu’il y a un signe – dans un cas et pas dans l’autre, ce n’est pas une démonstration…)

On peut alors rajouter ces 2 lignes au tableau précédent :

f(t-a) e-ap × F(p)
eat × f(t) F(p – a)

Par ailleurs, il existe d’autres propriétés pour la TL d’une fonction.

Tout d’abord la linéarité, qui se démontre facilement grâce à la linéarité de l’intégrale :

Ainsi, on peut retrouver la TL de cos(bt) avec celle de l’exponentielle.
En effet,

D’où :

On pourrait évidemment faire la même chose avec sin(bt) (tu peux t’entraîner à le faire !).

Enfin, il existe une propriété sur la produit de convolution de 2 fonctions f et g.
On rappelle que le produit de convolution de f et g, noté f*g et étudié dans un autre chapitre, est défini de la manière suivante :

La propriété sur la TL est la suivante : la transformée de Laplace de f*g est le produit des transformées de Laplace (ce qui est beaucoup plus simple) :

Dernière propriété concernant les limites cette fois-ci, on a :

Comme tu le vois la formule est la même mais en inversant 0 et +∞, donc si tu connais une formule tu connais l’autre !

Lien avec la dérivée

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Il existe également un lien entre la dérivée de f et la TL de f.
Attention, p étant une variable complexe, F'(p) n’a aucune signification (sauf si p réel), on va donc plutôt s’intéresser à TL(f’).
La formule est la suivante :

Autrement dit :

Attention à ne surtout pas oublier la constante f(0) !!

En SI, on prend toujours des conditions initiales nulles, et donc très souvent on retient que dériver revient à multiplier par p.
De la même manière, intégrer revient à diviser par p.
C’est pourquoi en SI, dans les schémas-blocs notamment, si une fonction de transfert est « p », on dit que c’est un dérivateur, si au contraire on a « 1/p », on dit que c’est un intégrateur :

Dérivateur-Intégrateur schéma-bloc

Par récurrence immédiate, on peut aussi donner la TL des dérivées, 2ème, 3ème, 4ème etc.. :

etc…

Ces formules sont cependant rarement appliquées en SI, car on simplifie en disant que dériver 2 fois revient à multiplier par p2, dériver 3 fois revient à multiplier par p3 etc…

Voilà, tu sais désormais tout ce qu’il faut savoir sur les Lois de Laplace !

Exercices

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Les exercices sur ce chapitre seront bientôt disponibles !

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