Sommaire
Exemples simples pour la convergence des séries
Séries avec des factorielles – critère de d’Alembert
Le critère de Cauchy
Convergence de la série harmonique alternée
Divergence de séries par comparaison avec 1/n
Convergence avec calcul de la somme
Séries avec des racines de n en puissance
Séries avec une somme ou un produit
Séries avec ln(n)
Problème de Bâle
Approximation de Pi avec Python
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Etudier la convergence des séries suivantes :
\(\textstyle u_n = \frac{8n + 1}{3n^3 – n^2 + 4} \)
\(\textstyle u_n = \frac{\sqrt{n} + 1}{n^3 – 5\sqrt{n} + 9} \)
\(\textstyle u_n = n \times sin(\frac{1}{n}) \)
\(\textstyle u_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \times ln(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}) \)
L’exercice consiste à étudier la convergence des séries suivantes :
Pour la première vidéo :
\(\textstyle u_n = \frac{a^n}{n!} n \in \mathbb{R} \)
\(\textstyle v_n = \frac{n!}{n^n} \)
\(\textstyle w_n = \frac{n!n^n}{(2n)!} \)
Pour la deuxième vidéo :
\(\textstyle u_n = \frac{1}{n!} \)
\(\textstyle v_n = \frac{ln(n^n)}{n!} \)
Etudier la convergence des séries suivantes :
\(\textstyle u_n = (\frac{n + 4}{2n – 1})^n \)
\(\textstyle v_n = (\frac{n – 8}{3n + 5})^{n(-1)^n} \)
Cet exercice est très classique et peut être considéré comme du cours.
On considère la série de terme général :
\(\textstyle a_n = \frac{(-1)^n}{n} \)
1) Est-ce que cette série est absolument convergente ?
2) On pose :
\(\displaystyle S_n = \sum_{k = 1}^{n} a_k \)
On pose deux suites un = S2n et vn = S2n+1
Montrer que (un) et (vn) sont adjacentes.
En déduire que la série [an] converge.
3) Montrer que la série [an] converge d’une autre manière.
Etudier la convergence des séries suivantes :
\(\textstyle u_n = \frac{ln(n)}{ln(e^n – 1)} \)
\(\textstyle v_n = (\frac{1}{n})^{1 + \frac{1}{n}} \)
L’exercice consiste à étudier la convergence de la série de terme général :
\(\displaystyle u_n = nx^n, \, x \in ]-1;1[ \)
Même exercice que précédemment, déterminer la convergence des séries suivantes :
\(\textstyle u_n = (\frac{1}{2})^{\sqrt{n}} \)
\(\textstyle v_n = ne^{-\sqrt{n}} \)
\(\textstyle u_n = \frac{1 \times 3 \times 5 \times … \times (2n-1)}{2 \times 4 \times 6 …\times (2n)} \)
\(\textstyle v_n = \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n}}{ln(n!)} \)
Encore le même principe, on va étudier la convergence des séries suivantes :
\(\textstyle u_n = \frac{(-1)^n ln(n)}{n} \)
\(\textstyle v_n = \frac{(-1)^n}{nln(n)} \)
\(\textstyle w_n = \frac{cos(n^2 \times \pi)}{nln(n)} \)
Le problème de Bâle consiste à calculer la somme suivante :
\(\displaystyle S = \sum_{k = 1}^{+ \infty} \frac{1}{k^2} \)
Il y a plusieurs méthodes, ici nous allons étudier une méthode étonnante !
Comment trouver une approximation de Pi avec la fonction arctan ?
Nous verrons que cela est lié aux séries.
Puis nous verrons comment appliquer cela en Python !
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