Les séries numériques réelles

Sommaire

Introduction
Définitions – Vocabulaire
Propriétés
Propriétés des séries à termes positifs
Règle de d’Alembert
Règle de Cauchy
Séries particulières
Séries alternées
Séries absolument convergentes
Exercices

Introduction

Nous allons voir dans ce chapitre les séries numériques, fortement liées aux suites, il est donc recommandé de bien maîtriser le cours sur les suites avant d’étudier ce qui suit.
Ce n’est pas un chapitre évident car on peut facilement s’embrouiller avec les suites, il faut donc bien faire attention à tous les pièges et toutes les astuces données ci-dessous.
Commençons par définir ce qu’est une série.

Définitions – Vocabulaire

On considère une suite (un) de réels.
On créé alors une suite (Sn) définie de la manière suivante :

Ainsi par exemple :
S2 = u0 + u1 + u2
S5 = u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5
etc…

Cette suite (Sn) est appelée série de terme général uk.
Plusieurs notations possibles pour cette série :

Pour simplifier, nous prendrons souvent la notation [uk] dans la suite du cours et nous dirons la série [uk].
On pourrait très bien écrire [un] mais on change exprès la variable muette pour faire la différence entre la suite (un) et la série [uk].

La suite (Sn) est appelée somme partielle d’ordre n de la série [uk]

Il sera souvent demandé en exercice d’étudier la nature de la série [uk].
Cela signifie qu’il faut déterminer si la série converge ou non.
Attention, on ne te demande pas si la suite converge ou non mais si la série converge ou non !!!


Dire que la série [uk] converge signifie que la suite (Sn) converge.
Dire que la série [uk] diverge signifie que la suite (Sn) diverge.

C’est là que tu vois que ce chapitre va comporter des pièges !!

Prenons un exemple.
On considère la suite (un) définie par un = n.
Est-ce que la série [uk] converge ?
Pour le savoir, il faut calculer (Sn) et regarder si (Sn) converge ou non.
Calculons donc Sn :

On connaît l’expression de cette somme classique :

D’où :

Ainsi la suite (Sn) diverge donc la série [uk] diverge.
Si la suite (Sn) avait convergé (vers un réel), on en aurait déduit que la série [uk] convergeait.

Si la suite (Sn) converge, on peut donc faire sa limite, souvent notée S, qui est :

Evidemment cette écriture n’a de sens que si la série converge.
Le réel S est alors appelé somme la série [uk].
Avant de parler de S, il faudra bien sûr que tu aies déterminé si la série converge ou non (parler de S n’a pas de sens si la série diverge).

Remarque importante : dans tout ce qui précède, la suite (un) était définie à partir de n = 0. Si la suite est définie à partir d’un autre entier n0, on reprend tout ce qui précède en remplaçant 0 par n0 (la suite (Sn) sera également définie à partir de n0 notamment).

Attention à ne surtout pas confondre la convergence de la série [uk] avec la convergence de la suite (un) !!
Ce n’est pas parce que la suite (un) converge que la série [uk] converge !!
C’est l’erreur la plus grossière que tu puisses faire dans ce chapitre.
Exemple : la suite un = 1/n converge vers 0, et pourtant nous verrons que la série [uk] diverge.
Il existe cependant des propriétés là-dessus que nous détaillerons.

Continuons d’ajouter un peu de vocabulaire.

On va supposer que la série [uk] converge. On peut donc parler de la somme S.
On définit alors le reste d’ordre n de la série [uk], noté Rn, par :

Remarque : Rn n’existe que si la série [uk] converge.

Propriété :


Si elle existe (donc si [uk] converge), la suite (Rn) tend vers 0.

En effet, faisons la limite de Rn :

Evidemment toute cette démonstration n’a de sens que si [uk] converge (condition pour que (Rn) existe).

Le vocabulaire étant maintenant défini, nous allons pouvoir passer aux propriétés concernant les séries.

Propriétés

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La résolution d’exercices va faire intervenir plusieurs propriétés.

Tout d’abord, pour qu’une série [uk] converge, il faut impérativement que la suite (un) converge 0.
Par contraposée, si (un) ne converge pas vers 0, [uk] diverge grossièrement.
C’est la première chose que tu dois vérifier quand tu étudies la nature d’une série : si la suite ne tend pas vers 0, ça ne sert à rien de commencer à se lancer dans des calculs compliqués, il suffit de dire qu’elle diverge grossièrement.

Exemple : étudier la nature de la série [uk] définie par un = n2.
On remarque que la suite (un) tend vers +∞ donc ne converge pas vers 0, donc la série [uk] diverge (on peut préciser qu’elle diverge grossièrement).

Attention cependant, ce n’est pas parce que (un) tend vers 0 que la série converge pour autant !!
Exemple : la série [uk] définie par un = 1/n.
La suite (un) tend vers 0 et pourtant la série [uk] diverge (on le démontrera plus loin).

La converge de la suite (un) vers 0 est donc une condition nécessaire mais pas suffisante !


Si la suite (un) ne tend pas vers 0, la série [uk] diverge grossièrement.
Mais si la suite (un) tend vers 0, on ne peut rien dire sur la convergence de la série [uk].

La démonstration du fait que (un) tende vers 0 est assez simple.
Il suffit de remarque que un = Sn – Sn-1. Si la série [uk] converge, Sn tend vers S, tout comme Sn-1, donc par différence un tend vers 0.

Cas particulier : les suites constantes.
Les suites constantes ne convergent pas vers 0 (hormis la suite nulle).
Donc si on prend une suite constante (un), définie par une constante non nulle p (un = p pour tout n) alors la série diverge grossièrement car un ne tend pas vers 0 (car p non nulle).
Ainsi les séries [2], [3], [-8] etc… divergent.

En revanche la série [0] converge.
En effet, si on prend un = 0 pour tout n, alors Sn = 0.
Donc (Sn) converge, donc la série [uk] converge.


Les séries de terme général constant divergent sauf la série de terme général nul.

Par ailleurs, on peut faire des combinaisons linéaires de séries.
Prenons deux séries [uk] et [vk] convergentes (de somme S et P), et deux réels λ et β.
Alors la série [λuk + βvk] converge et est de somme λS + βP.
En effet, par linéarité :

En revanche la réciproque est fausse : ce n’est pas parce que [λuk + βvk] convergent que [uk] et [vk] convergent.
Exemple : on prend uk = 1 et vk = -1 pour tout k (deux suites constantes).
On prend λ = 1 et β = 1.
Pour tout k, λuk + βvk = 1 – 1 = 0.
La série [0] converge d’après ce qui précède, et pourtant [uk] et [vk] divergent.
Dans cet exemple, [λuk + βvk] converge mais [uk] et [vk] divergent.


Si deux séries [uk] et [vk] convergent de somme S et P, alors pour tout réel λ et β, la série [λuk + βvk] converge et est de somme λS + βP.
La réciproque est fausse : ce n’est pas parce que [λuk + βvk] convergent que [uk] et [vk] convergent.

Dans le même ordre d’idée, on peut uniquement multiplier chaque terme par un réel non nul : on considère les séries [uk] et [λuk] avec λ réel non nul (nous verrons après pourquoi c’est importante que λ ≠ 0).
On peut alors dire que si [uk] converge alors [λuk] converge, si [uk] diverge alors [λuk] diverge.
Autrement dit, [uk] et[λuk] sont de même nature !


Pour tout réel λ non nul, [uk] et[λuk] sont de même nature.

Attention, λ doit impérativement être non nul !!
En effet, prenons λ = 0, et une série [uk] divergente.

[λuk] = [0 × uk] = [0] : série convergente.
Donc [uk] diverge (par hypothèse) mais [λuk] converge : donc [uk] et[λuk] ne sont pas de même nature !
La propriété précédente est donc uniquement valable pour λ ≠ 0.



Propriétés des séries à termes positifs

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Si tous les termes d’une série sont positifs, il existe des propriétés supplémentaires qui seront souvent utilisées en exercices (les séries étudiées étant fréquemment à termes positifs).

Si tous les termes de la série [uk] sont négatifs, il suffit de considérer la série [-uk] et le problème est réglé (ou de prendre la valeur absolue), le cas où tous les termes sont négatifs est donc similaire à celui où tous les termes sont positifs.
On peut considérer la série [-uk] car elle est de même nature que la série [uk] (on prend λ = -1 dans la propriété vue juste avant).

Dans toute cette partie on considère donc que tous les un sont positifs ou nuls.

Revenons tout d’abord à la suite (Sn).
Par définition :

Donc :

Or un+1 ≥ 0, donc Sn+1 – Sn ≥ 0 : (Sn) est croissante.
Ainsi :


Pour une série à termes positifs, (Sn) est croissante.

Donc si (Sn) est majorée, elle est convergente, donc la série [uk] converge.
si (Sn) n’est pas majorée, elle est divergente, donc la série [uk] diverge.


Pour une série à termes positifs, si (Sn) est majorée, alors la série [uk] converge.
Si (Sn) n’est pas majorée, alors la série [uk] diverge.

C’est ce que l’on appelle le théorème de la limite monotone appliqué aux séries.

Considérons maintenant deux suites (un) et (vn) à termes positifs telles que :
pour tout entier k, 0 ≤ uk ≤ vk
On a la propriété suivante :


Si la série [vk] converge, alors la série [uk] converge
Si la série [uk] diverge, alors la série [vk] diverge

C’est ce que l’on appelle le critère de comparaison par inégalité des séries à termes positifs.

Cela ressemble un peu au théorème d’encadrement (théorème des gendarmes) vu au lycée sur les limites de suites.

D’autres critères de comparaison similaires existent.
Tout d’abord le critère de comparaison par négligeabilité des séries à termes positifs.
On a toujours deux suites (un) et (vn) à termes positifs, mais telles que :
uk = o (vk)
On a la règle suivante :


Si la série [vk] converge, alors la série [uk] converge
Si la série [uk] diverge, alors la série [vk] diverge

Il s’agit de la même règle que précédemment (c’est juste l’hypothèse de négligeabilité qui change).

Autre critère beaucoup plus utilisé : le critère de comparaison par équivalence des séries à termes positifs.
On a toujours deux suites (un) et (vn) à termes positifs, mais telles que :
uk ∼ vk
On a la règle suivante


Si deux séries à termes positifs sont équivalentes :
Alors les séries [uk] et[vk] sont de même nature.
Donc si une série converge, l’autre aussi.
Et si une série diverge, l’autre aussi.

Nous verrons des exemples plus loin avec les séries particulières, notamment les série de Riemann.
Voyons justement les séries particulières que tu es susceptible de rencontrer.

Règle de d’Alembert

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La règle de d’Alembert (aussi appelé critère de d’Alembert) est extrêmement intéressante car elle permet de savoir rapidement et facilement si une série converge ou non… mais elle ne marche pas à tous les coups malheureusement !
Le critère de d’Alembert est valable pour les séries à termes strictement positifs : pour tout n, un > 0.

On calcule tout d’abord la limite de un+1/un que l’on appelle l (on suppose donc que cette limite existe) :

Remarque : un doit être non nul à cause de la division.

Le critère de converge est le suivant :


Si l < 1 : la série [uk] converge ;
Si l = 1 : on ne peut rien conclure ;
Si l > 1 : la série [uk] diverge.

Comme tu le vois, malheureusement si l = 1 on ne peut rien dire, il faudrait donc appliquer une autre règle.

Voyons un exemple d’application.
On cherche la nature de la série définie par un = n3e-n.
On a bien un > 0 et :

Or avec le théorème du plus haut degré :

Donc :

Or 1/e < 1 donc la série [uk] est convergente.

Comme tu le vois, simple et rapide !

En revanche, si on prend par exemple un = 1/n, la limite de un+1/un est 1 et on ne peut rien en déduire.

Il existe une variante du critère de d’Alembert : on suppose toujours un > 0.


Si un+1/un ≤ l à partir d’un certain rang avec l < 1, la série [uk] converge.
Si un+1/un ≥ l à partir d’un certain rang avec l > 1, la série [uk] diverge.

Cette variante est moins évidente à appliquer que la règle de d’Alembert vue précédemment, mais elle peut être utile.
Il existe un autre critère similaire à d’Alembert : le critère de Cauchy.

Règle de Cauchy

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On considère toujours une suite un ≥ 0 (un peut être nulle contrairement à d’Alembert car on ne fera pas de division).
Le réel l sera cette fois-ci défini mais la limite de la racine n-ième de un (on suppose donc qu’elle existe) :

Autrement dit :

Le critère est alors le même que pour d’Alembert :


Si l < 1 : la série [uk] converge ;
Si l = 1 : on ne peut rien conclure ;
Si l > 1 : la série [uk] diverge.

De la même manière que pour d’Alembert, il existe une variante :


Si un1/n ≤ l à partir d’un certain rang avec l < 1, la série [uk] converge.
Si un1/n ≥ l à partir d’un certain rang avec l > 1, la série [uk] diverge.

Comme tu le vois, le principe de la règle de Cauchy (ou critère de Cauchy) ressemble fortement à d’Alembert.
A noter cependant que les termes peuvent être nuls pour Cauchy (contrairement à d’Alembert à cause de la division).
En exercice, le critère de Cauchy est cependant beaucoup moins utilisée que la règle de d’Alembert.

Un petit exemple pour terminer : on cherche la nature de la série définie par :

On a bien un > 0 et :

Donc :

0 < 1 donc la série [uk] converge.



Séries particulières

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Il y a certaines séries dont la convergence et la somme sont à connaître, car il est possible de les rencontrer souvent en exercices.

Tout d’abord les séries géométriques.
Considérons un réel q.
Prenons la suite un = qn : il s’agit d’une suite géométrique.
On cherche alors la nature de la série [uk]=[qk] appelée série géométrique.

La propriété est la suivante :


La série géométrique [qk] converge si et seulement si -1 < q < 1.

Ainsi la série [(0,2)k] converge mais la série [3k] diverge.
Remarque : il s’agit de la même condition que la convergence de la suite (qn) vue au lycée. On rappelle que la condition -1 < q < 1 peut aussi s’écrire |q| < 1.

Si la série [qk] converge, sa somme est alors :


si -1 < q < 1

On pourrait montrer que l’on peut « dériver » cette égalité, ce qui donne d’autres formules (souvent rencontrées en exercice)


si -1 < q < 1


si -1 < q < 1

On montre ainsi que :


Les séries [kqk-1] et [k(k-1)qk-2] convergent si et seulement si -1 < q < 1.

Attention dans les sommes à la première valeur de k, k part de 1 puis de 2 (car on dérive).

Démontrons tout cela : on considère donc la série [qk].
Calculons Sn :

On applique la formule vue au lycée pour la somme d’une suite géométrique :

1er cas : -1 < q < 1 : on sait alors que qn+1 tend vers 0, donc :

D’où :

(Sn) est donc convergente, donc [qk] converge, et (Sn) converge vers 1/(1-q), donc la somme de la série est 1/(1-q).

2ème cas : q n’est pas strictement compris entre -1 et 1 ni égal à 1 : qn+1 diverge et l’expression de Sn trouvée ci-dessous reste vraie (Sn = (1-qn+1)/(1-q)).
Comme qn+1 diverge, (1-qn+1)/(1-q) diverge, donc (Sn) diverge, donc [qk] diverge.

3ème cas : q = 1. Alors [qk] = [1] : la série diverge grossièrement.

On vient de montrer que la série géométrique [qk] converge si et seulement si -1 < q < 1, et dans ce cas S = 1/(1-q).

Autre type de série particulière : la série exponentielle.
On a la formule suivante pour tout réel x :


pour tout réel x

Ainsi la série [xk/k!] converge pour tout réel x (contrairement à la série géométrique qui ne convergeait que pour certaines valeurs de q).
Si tu as fais le chapitre sur les développements limités, la formule ci-dessus doit te rappeler quelque chose…

Autre cas particulier : les séries télescopiques.
On considère deux suite (un) et (vn).
On suppose que pour tout entier k : vk = uk+1 – uk
On a alors la règle suivante :

On en déduit :


ATTENTION qu’il s’agit bien de la convergence de la série [vk] mais de la suite (un), pas de la série [uk]…

Exemple classique : on cherche la nature de la série :

On dit que :

On pose alors la suite (un) telle que un = ln(n), on a alors :

On est bien dans le cas de la règle vue précédemment.
Or la suite un = ln(n) diverge, donc la série [vk] diverge !

Autre cas particulier (sans doute le plus important) : les séries de Riemann.
Une série de Riemann comporte un paramètre réel α, et est définie par :


Série de Riemann

La règle de convergence est la suivante :

Donc si α ≤ 1, la série diverge.
Ainsi par exemple :

En effet, √k = k1/2 et 1/2 ≤ 1

Ce cas est sans doute le plus important car souvent on fait des équivalents et on se ramène à des séries de Riemann.
Exemple : on cherche la nature de la série :

On dit alors simplement que :

Or 3 > 1 donc la série [1/k3] converge, donc par équivalence la série [uk] converge.
Il s’agit d’un exemple typique d’application du critère de comparaison par équivalence des séries à termes positifs.
Il faudrait préciser que les séries [uk] et [1/k3] sont à termes positifs, ce qui est assez évident.

Dès que tu peux te ramener à une série de Riemann (par équivalence ou par une autre méthode), n’hésite pas à le faire !!

De manière similaire aux séries de Riemann, il existe les séries de Bertrand (tu les rencontreras moins souvent).
Elles sont définies par :


Série de Bertrand

Evidemment ici k ≥ 2 à cause du ln.
Si β = 0, (ln(k))β = 1 : on se retrouve avec une série de Riemann.

Le critère de convergence d’une série de Bertrand est le suivant :


Une série de Bertrand converge ⇔ α > 1, ou α = 1 et β > 1.

Ainsi :
Si α > 1 : la série converge quelque soit la valeur de β.
Si α = 1 : il faut que β > 1 pour que la série converge, sinon elle diverge.
Si α < 1 : la série diverge quelque soit la valeur de β.

Exemples :

Cette série converge car α = 4 > 1 (le β n’a aucune importance à ce moment-là).

Cette série diverge car α = 1/2 < 1 (le β n’a aucune importance à ce moment-là).

Cette série converge car α = 1 et β = 4 > 1.

Cette série diverge car α = 1 et β = 1/2 < 1.

Séries alternées

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Une série alternée est une série alternativement positive et négative.
Elle s’exprime sous la forme :

Autrement dit, an = |un|
On peut également avoir un = (-1)n+1an, cela ne change rien.

On a alors la règle suivante :


Si la suite (an) est décroissante et tend vers 0, alors la série [uk] est convergente.

Exemple : on cherche la nature de la série [uk] définie par :

On a bien affaire à une série alternée avec :

La suite (an) est décroissante et tend vers 0, on en déduit que la série [uk] est convergente.

Cette série a un nom particulier : on l’appelle la série harmonique alternée.

Par ailleurs, on a la propriété suivante : on suppose que (an) est décroissante et tend vers 0 : la série [uk] est convergente. On appelle S la somme de cette série.
On considère les sous-suites de (Sn) : (S2n) et (S2n+1). On peut dire que :
(S2n) est décroissante, (S2n+1) est croissante et

Terminons ce chapitre avec les séries absolument convergentes.

Séries absolument convergentes

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Une série [uk] peut être absolument convergente.
Cela signifie que la série [|uk|] est convergente.

L’intérêt est que si la série [uk] est absolument convergente, alors elle est convergente.
Cela va nous permettre de démontrer la convergence de certaines séries.


Si la série [uk] est absolument convergente, alors elle est convergente.

Exemple : on cherche la nature de la série :

Ici on ne peut pas utiliser le critère de comparaison des séries à termes positifs puisque uk est alternativement positif et négatif. On pourrait en revanche utiliser le principe vu précédemment sur les séries alternées mais nous allons appliquer ici une autre méthode.
Prenons alors la valeur absolue :

Or [1/k2] est convergente (série de Riemann, 2 > 1), donc [|uk|] est convergente.
On en déduit que [uk] est absolument convergente, donc convergente d’après la règle vue ci-dessus.

Attention en revanche, la réciproque n’est pas vraie !!
Exemple très classique :

On sait que [uk] converge (série alternée tendant vers 0), et pourtant :

Or [1/k] n’est pas convergente (série de Riemann avec α = 1), donc [|uk|] ne converge pas alors que [uk] converge. La série [uk] est donc convergente mais pas absolument convergente.

Certaines séries convergente peuvent ne pas être absolument convergentes, dans ce cas on dit qu’elles sont semi-convergentes :


Une série est dite semi-convergente si elle est convergente mais pas absolument convergente.

Ce chapitre est désormais terminé, il ne reste plus qu’à faire des exercices pour bien maîtriser toutes les règles vues précédemment.

Exercices

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Les exercices sur ce chapitre seront bientôt disponibles !

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