Annales sur les probabilités Rochambeau 2007

Rochambeau 2007 exercice 3

Un joueur débute une jeu au cours duquel il est amené à faire successivement plusieurs parties.
La probabilité que le joueur perde la première partie est de 0,2.
Le jeu se déroule ensuite de la manière suivante :
– s’il gagne une partie, alors il perd la suivante aec une probabilité de 0,05 ;
– s’il perd une partie, alors il perd la suivante aec une probabilité de 0,1.

1) On appelle :
E1 l’événement « le joueur perd la 1ère partie »
E2 l’événement « le joueur perd la 2ème partie »
E3 l’événement « le joueur perd la 3ème partie »

On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de fois que le joueur perd lors des trois premières parties.
On pourra s’aider d’un arbre pondéré.

a) Quelle sont les valeurs prises par X ?
b) Montrer que la probabilité de l’événement (X=2) est égale à 0,031 et que celle de l’événement (X=3) est égale à 0,002.
c) Déterminer la loi de probabilité de X.
d) Calculer l’espérance de X.

2) Pour tout entier naturel n non nul, on note En l’événement « le joueur perd la n-ième partie », et on note pn la probabilité de l’événement En.
a) Exprimer, pour tout entier naturel n non nul, les probabilité des événements :

et

b) En déduire que pn+1 = 0,05 pn + 0,05 pour tout entier naturel n non nul.

3) On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul par
un = pn – 1/19
a) Montrer que (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b) En déduire, pour tout entier naturel n non nul, un et pn en fonction de n.
c) Calculer la limite de pn quand n tend vers +∞.




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