Soit A le plan d’affixe a = 1 + i√3 et B le pint d’affixe b = 1 – √3 + (1 + √3)i
Partie A : étude d’un cas particulier
On considère la rotation r de centre 0 et d’angle 2π/3
On note C le point d’affixe c image du point A par la rotation r et D le point d’affixe d image du point B par la rotation r.
La figure est donnée ci-dessous.
1) a) Exprimer sous forme algébrique.
b) En déduire que OAB est un triangle rectangle et isocèle en A.
2) Démontrer que c = -2. On admet que d = -2 – 2i
3) a) Montrer que la droite (AC) a pour équation :
b) Montrer que le milieu du segment [BD] appartient à la droite (AC).
Partie B : étude du cas général
Soit θ un réel appartenant à l’intervalle ]0 ; 2π[
On conidère la roation r de centre O et d’angle θ
On onte A’ le point d’affixe a’, image du point A par larotation r, et B’ le point d’affixe b’, image du pint B par la rotation r.
La figure est donnée ci-dessous.
L’objectif est de démontrer que la droite (AA’) coupe le segment [BB’] en son milieu.
1) Exprimer a’ en fonction de a et θ, et b’ en fonction de b et θ.
2) Soit P le point d’affixe p milieu de [AA’] et Q le point d’affixe q milieu de [BB’]
a) Exprimer p en fonction de a et θ puis q en fonction de b et θ.
b) Démontrer que :
c) En déduire que la dorite (OP) est perpendiculaire à la droite (PQ).
d) Démontrer que le point Q appartient à la droite (AA’).