Sommaire
Calcul du produit scalaire
Calcul avec les propriétés
Démo du théorème de la médiane
Application au calcul d’un angle
Produit scalaire en créant un repère
Exercice classique avec 2 carrés
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Nous allons voir dans cette vidéo les différentes manières de calculer un produit scalaire (calcul, projeté orthogonal etc…).
Soit u et v deux vecteurs tels que :
\(\textstyle \lVert \vec{u} \rVert = 2 \, et\, \lVert \vec{v} \rVert = 5 \, et \, \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = -3 \)
Calculer :
\(\textstyle (\vec{u} + 3\vec{v} ).\vec{u} \)
\(\textstyle (\vec{u} – 2\vec{v} ).(\vec{v} + 3\vec{u} ) \)
\(\textstyle \lVert \vec{u} \, – 2 \, \vec{v} \rVert ^2 \)
\(\textstyle (\vec{u} + 3\vec{v} ).(-5 \vec{u} ) \)
Nous allons démontrer le théorème de la médiane, qui comporte 3 formules.
On considère un triangle quelconque ABC, et I le milieu de [BC] :
Déterminer les expressions suivantes en fonction de AI ou du vecteur AI :
\(\textstyle AB^2 + AC^2 = ? \)
\(\textstyle AB^2 – AC^2 = ? \)
\(\textstyle \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = ? \)
Soit ABCD un rectangle tel que AB = 10 et BC = 6.
On considère le point I de [AD] tel que AI = 2,5 et le point J de [DC] tel que DJ = 1,5 :
1) Calculer :
\(\textstyle \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{AJ} \)
Que peut-on dire des droites (BI) et (AJ) ?
2) Calculer l’angle IBJ en calculant le produit scalaire suivant de deux manières :
\(\textstyle \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BJ} \)
Soit ABCD un carré de côté 4, et M un point de la diagonale [BD].
Soit P le point de [AB] et N le point de [AD] tels que APMN soit un rectangle.
1) Faire une figure.
2) Montrer que (CM) est perpendiculaire à (NP).
On considère la figure constituée de deux carrés comme représenté dans la miniature ci-dessous.
Montrer que les droites (AI) et (ED) sont perpendiculaires.
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