Annales sur les suites : Pondichéry 2010

Pondichéry 2010 exercice 1
Partie A : Roc
Soit a et b deux réels tels que a < b et f et g deux fonctions continues sur l’intervalle [a ,b]
On suppose connus les résultats suivants:

déçu

Et si pour tout ∈ [a ; b], f(t) ≥ 0, alors

déçu

Montrer que : si pour tout t ∈ [a,b], f(t) ≤ g(t) alors

déçu

Partie B
Soit n un entier naturel non nul. On appelle fn la fonction définie sur [0, +∞[ par fn(x)=ln(1 + xn) et on pose

déçu

On note Cn la courbe représentative de fn.
1) a) Déterminer la limite de f1 en +∞
b) Étudier les variations de f1 sur [0, +∞[
c) À l’aide d’une intégration par parties, calculer I1
(Pour le calcul de I1 on pourra utiliser le résultat suivant : pour tout x ∈ [0 ; 1] :

déçu

2) a) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, on a 0 ≤ In ≤ ln2
b) Étudier les variations de la suite (In)
c) En déduire que la suite (In) est convergente.

3) Soit g la fonction définie sur [0, + ∞[ par g(x) = ln(l +x) – x
a) Étudier le sens de variation de g sur [0, + ∞[
b) En déduire le signe de g sur [0, +∞[
Montrer alors que pour tout entier naturel n non nul, et pour tout x réel positif, on a ln( 1 + xn )≤xn
c) En déduire la limite de la suite (In)




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