Les polynômes du second degré

Sommaire

Un polynôme, qu’est-ce-que c’est ?
Représentation graphique
Racines d’un polynôme
Calcul des racines
Factorisation de polynôme
Tableau de signe
Sommet de la parabole et tableau de variation
La forme canonique
Exercices
Intérêt des polynômes

Introduction
Ce chapitre est fondamental car on trouve des polynômes du second degré partout et tout le temps !!
On en trouve notamment en physique, et les études de fonction comportent souvent de telles fonctions.
Retiens donc bien tout ce qui va suivre

Un polynôme, qu’est-ce-que c’est ?
Un polynôme, c’est une fonction f de la forme :

où a0, a1, a2… sont des réels. On les appelle les coefficients.

Par exemple :

Par contre, dès qu’il y a des racines ou des fractions, ce n’est plus une fonction polynôme^^
A chaque fois il y a bien sûr une puissance de x la plus grande. Par exemple dans


c’est le x7 le plus grand


c’est le x6 le plus grand


c’est le x4 le plus grand

C’est ce qu’on appelle le DEGRE du polynôme.
Dans les exemples, le 1er polynôme est donc de degré 7, le 2ème de degré 6, le 3ème de degré 4

Nous allons nous intéresser aux polynômes de degré 2, c’est-à-dire ceux de la forme :

On a fait exprès de noter les coefficients a, b et c, ce sera plus simple pour la suite.
On appelle ces fonctions des polynômes du second degré.

Représentation graphique

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Il est tout d’abord important de savoir à quoi cela ressemble une fois tracé.
Un polynôme du second degré est une parabole, tournée vers le haut ou vers le bas :

Mais comment sait-on si la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas ?
C’est très facile, on regarde le signe de a !!!
(on rappelle que a est le coefficient de x2)

Exemple :

Ici a = 3 > 0, donc la parabole est tournée vers le haut.

Ici a = -5 < 0, donc la parabole est tournée vers le bas.


ATTENTION !! Il faut bien regarde le coefficient de x2 !!
Or ce n’est pas forcément le 1er dans la fonction.
Exemple :

Ici a = +3 !!
Beaucoup disent a = -5 car c’est le premier coefficient que l’on voit mais -5 est le coefficient de x et non celui de x2

Racines d’un polynôme

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Les racines d’un polynôme, qu’es-ce-que c’est ?
Non ce n’est pas ce qui pousse dans la terre^^ Cela n’a rien à voir non plus avec la fonction racine carrée.
Les racines d’un polynôme, ce sont les valeurs pour lesquelles un polynôme s’annule, c’est-à-dire f(x) = 0.

Graphiquement, cela correspond aux valeurs pour lesquelles la courbe coupe l’axe des abscisses :

Par exemple :

Remplaçons x par 1 :

Donc 1 est une racine de f !!

De même avec 2 :

Donc 2 est aussi racine de f !

Mais il pourrait y en avoir d’autres… sauf qu’un polynôme du second degré a AU PLUS 2 racines !!
En effet, il peut en avoir 0, 1 ou 2.
Ceci se voit très bien graphiquement, nous allons faire un tableau récapitulatif :

Un polynôme du second degré a donc 0, 1 ou 2 solutions.

En fait il y a un théorème plus général :

Ainsi, un polynôme de degré 8 a AU PLUS 8 racines, il peut en avoir 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, ou 0 !!
Un polynôme de degré 12 a AU PLUS 12 racines, etc…

Un polynôme de degré 2 a donc au plus 2 racines ! Ce que l’on voit bien graphiquement avec le tableau ci-dessus.


Calcul des racines d’un polynôme du second degré

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Maintenant il s’agit de savoir comment trouver ces racines !
Bien sûr on ne va pas s’amuser à calculer ce que vaut la fonction pour chaque x… il y a des formules toutes faites !!

On rappelle que l’on a

Il y a alors 2 étapes :

1) On calcule le discriminant, que l’on appelle aussi le delta (la lettre Δ en grec) avec la formule suivante :

C’est une formule à apprendre PAR COEUR !!!

La règle est alors la suivante :

On peut résumer avec ce tableau :

2) La 2ème étape consiste à calculer les racines s’il y en a.
Les formules sont les suivantes :
Dans le cas où il y a une seule solution, nous l’appellerons x1

Dans le cas où il y a 2 solutions, nous les appellerons x1 et x2.

Ces formules sont également à apprendre par coeur !!
Pour x2, la seule chose qui change est le -√ Δ au lieu du +√ Δ : facile à retenir^^


ATTENTION à l’ordre des coefficients !!!
Le a est bien le coefficient du x2, le b le coefficient du x et le c le coefficient constant !
Si on a f(x) = -3x + 4 – 5x2, il est conseillé de remettre d’abord dans l’ordre avant de faire les calculs :
on écrit f(x) = – 5x2 -3x + 4, comme ça on voit bien que a = -5, b = -3 et c = 4.

Evidemment c’est avec l’entraînement que ça rentrera dans ta tête, à la fin ça deviendra évident pour toi

Mais avant de passer aux exercices en vidéo, une petite remarque :
Pour le cas où Δ = 0, ce n’est pas une autre formule que pour le cas Δ > 0.
En effet, si dans les formules de x1 et x2 tu remplaces Δ par 0, on trouve la même formule : -b/2a, qui est la formule du x1 pour Δ = 0.

En fait, quand il y a une seule solution, c’est comme s’il y avait 2 solutions confondues, c’est pour cela qu’on dit que c’est une racine DOUBLE dans le cas où il y a une seule solution, car c’est comme si il y avait 2 solutions superposées.
Si tu n’as pas compris cette petite remarque ce n’est pas grave^^

Entraîne-toi avec ces calculs de racines de polynôme, c’est la meilleure façon d’apprendre comment faire et de retenir les formules !
Surtout qu’il y a pas mal d’exemples, alors profites-en !

Factorisation de polynômes

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Une fois que tu as calculé les racines d’un polynôme, il y a quelque chose de très simple que tu peux faire : factoriser le polynôme !

Le principe est le suivant : supposons que tu as f(x) = ax2 + bx + c, et que tu as calculé les 2 racines x1 et x2

Tu peux alors dire que :

Ainsi, quand tu dois factoriser un polynôme, il suffit de calculer les racines puis d’appliquer la formule ci-dessus.
Evidemment si le polynôme n’a pas de racine on ne peut pas factoriser le polynôme^^


ATTENTION !! Ne pas oublier le a dans la formule !!!
Beaucoup pensent que la formule est f(x) = (x – x1)(x – x2), mais il ne faut oublier le a devant…

Exemple : f(x) = 4x2 – 4x – 24.
On calcule d’abord les racines : Δ = b2 – 4ac – = (-4)2 – 4 × 4 × (-24) = 400
400 > 0 donc il y a 2 racines :
x1 = (-b + √Δ)/2a = 3
x2 = (-b – √Δ)/2a = -2
(tu peux t’amuser à développer le calcul pour vérifier )

On a alors plus qu’à appliquer la formule :
Comme f(x) = 4x2 – 4x – 24, on a a = 4, d’où :

f(x) = a(x – x1)(x – x2) = 4(x – 3)(x – (-2)) = 4(x – 3)(x + 2)

Et voilà, comme tu le vois une fois que tu connais la formule et que tu sais calculer les racines, il n’y a aucun souci


ATTENTION !! Dans l’exemple il y a une racine négative (-2), donc au final on a x « + » 2.
Ce n’est pas parce qu’il y a x – x1 ou x – x2 dans la formule qu’on aura forcément « – » au final, tout dépend du x1 et du x2.
Nous reparlons de cela dans la vidéo d’exercices.

Si maintenant Δ < 0, que se passe-t-il ? Et bien on a vu qu'à ce moment-là il n'y a pas de racine donc il n'y a pas de forme factorisée !!

Dernière chose avant les exercices : si Δ = 0, on a dit qu’il n’y avait qu’une seule racine : x1.
Mais alors comment on applique la formule ????
Et bien comme on a dit que c’était une racine DOUBLE, en fait le x2 est égal au x1.
On a donc f(x) = a(x – x1)(x – x1)
Ce qui donne f(x) = a(x – x1)2
Ainsi :


Puisqu’on en parle, voici justement quelques exercices de factorisation de polynômes pour t’entraîner à factoriser rapidement un polynôme du second degré.

Tableau de signe

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Une des choses que tu auras souvent à faire avec les polynômes du second degré, c’est leur tableau de signe !!
Tu vas voir que c’est très simple

Le plus simple c’est quand il y a 0 ou 1 solution, car la fonction ne change pas de signe !!

On remarque que tout dépend du signe de a !
Si a est positif, la fonction est positive.
Si a est négatif, la fonction est négative !!


——————————————————————————————————-

C’est vraiment trop simple
Attention à bien mettre la valeur pour laquelle la fonction s’annule dans le cas où il y a 1 solution.

Mais ce n’est pas le cas que l’on rencontre le plus souvent. Généralement il y a 2 racines.

Tu as peut-être remarqué qu’on peut en déduire une propriété valable pour tous les cas :

Ca donne donc cela :

Evidemment, c’est encore une fois en faisant plein d’exercices sur le tableau de signe que tu pourras t’améliorer

Sommet de la parabole et tableau de variation

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Pour chaque parabole, il y a ce qu’on appelle le sommet, c’est-à-dire le point où la fonction est maximum ou minimum :

Ce point est souvent noté S (S comme sommet évidemment^^).
L’abscisse de ce point, que nous noterons donc xS, a pour formule :

On remarque que c’est la formule de tout à l’heure pour le cas où il n’y avait qu’une racine^^
Graphiquement ça donne cela :

On voit alors quelque chose de très simple :
Si a > 0, la fonction est décroissante sur ]-∞ ; xS[, et croissante sur ]xS ; +∞[
Si a < 0, la fonction est croissante sur ]-∞ ; xS[, et décroissante sur ]xS ; +∞[ (l’inverse quoi^^)

On peut donc construire les tableaux de variations dans les 2 cas :

Il manque la valeur de f en xS et les limites en +∞ et -∞ mais tu n’as peut-etre pas encore vu ces notions. Ce n’est pas grave, ce n’est pas le plus dur^^

Fais ces exercices sur les variations d’un polynôme pour maîtriser ce dernier élément du chapitre.

La forme canonnique

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La forme canonique qu’est-ce que c’est ?
C’est tout simplement une autre manière d’écrire un polynôme du second degré.
On a vu qu’il y avait la forme développée, la forme factorisée et enfin nous allons voir la forme canonique. La formule est la suivante :

Mais à quoi correspondent ce α et ce β ?? (alpha et béta)
Et bien ils correspondent aux coordonnées du sommet de la parabole (que l’on a vu juste avant).

Ainsi :

Ok mais alors concrètement que faut-il faire pour calculer la forme canonique ?
Un petit exemple s’impose

Imaginons que l’on ait f(x) = 3x2 + 4x – 5
On a donc a = 3, b = 4 et c = -5
On va d’abord calculer α, puis β, et enfin remplacer tout ça dans la formule.

Puis on calcule β :

Il ne reste plus qu’à remplacer dans la formule :

Et voilà, on a trouvé la forme canonique de la fonction f

Exercices

Maintenant que les polynômes du second degré n’ont plus de secret pour toi, entraîne-toi avec ces exercices sur les polynômes du second degré.

Intérêt des polynômes
Les polynômes se trouvent souvent dans les études de fonctions, ce sont des fonctions « de base ».
Les polynômes du second degré sont surtout intéressants à étudier car on peut calculer leur sommet, leurs variations, leurs racines, leurs signes, etc… d’une manière simple, une fois qu’on connaît la méthode, contrairement aux fonctions de degré supérieur.

De plus, on retrouve les polynômes du second degré en physique, notamment en Terminale quand on étudie la trajectoire d’un projectile. En effet, si tu lances une balle devant toi vers le haut, elle aura une trajectoire parabolique, et on aura donc une équation du secon degré.

Retiens donc bien ce chapitre avec les formules et les différentes propriétés car tu es susceptible de les revoir souvent !

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122 réflexions sur “ Les polynômes du second degré ”

  1. Des explications très claires et simples qui me permettent de bien revoir les chapitres de 1ère afin d’aborder sereinement ma rentrée en terminale !

  2. Parfait. Simple. clair. les pièges sont mis en évidences. Que ceux qui se plaignent qu’il manque ceci ou cela replongent dans leur bouquins. Par respect pour la personne qui a passé beaucoup de temps a préparer ces cours accessibles gratuitement.
    Merci

  3. Merci infiniment, reste plus qu’à assurer pour le contrôle de demain, mais merci pour la qualité du site, clair et soigné, leset its vidéos c’est le top du top jadoooore

  4. merci pour tes video et explication j’ai eu un bac pro et je suis entrain de faire un bts et vu que en bac pro on voit pas se que les général eux voit en math et que le prof lui revoyait tout le programme de math des bac général en accéléré jetais perdu mais grace ce a toi maintenant je comprend mercii

  5. Merci beaucoup pour ce cours qui est juste TOP :p Ça m’a éclairé sur plusieurs points du cours que je n’avais pas assimilé en classe. Les explications sont claires comme de l’eau de roche. On a l’impression de suivre un cours particulier (gratos), j’aime bien l’approche que tu fais en utilisant le pronom « tu ». Encore merci :))

  6. il y a une erreur au niveau des calcul des racine moi jai obtenu -3 et 2
    expliqez moi si je me trompe merci mais a part ca la facon dexplique es magistrale.
    merci encore

  7. Chapeau bas. Tu as réussi à faire comprendre à l’allergique des maths que je suis tout ce chapitre en une heure. Et à m’intéresser en plus ! Alors que je supporte pas les maths ! X)

    Merci en tous cas 🙂

  8. Votre cours est vraiment super, merci. Mais j’ai un soucis : je ne sais pas appliquer tout le temps les cours dans les exercices.
    Comment utiliser ce cours pour répondre à une question genre : « Déterminer le prix pour réaliser le maximum de bénéfice? » pour f définie sur un intervalle.

  9. J’ai enfin bien compris le chapitre grâce à vous, puisque je n’avais rien compris en classe. Merci beaucoup!!!Continuez ainsi!!

  10. C’est très bien expliqué, merci beaucoup! juste pour la factorisation de polynômes je n’ai pas bien compris l’exemple, je n’ai pas bien compris pourquoi est ce que l’on commence par « b2-4ac » et aussi je n’ai pas compris d’où sorte les 4 dans le calcul des racines, il y’en a juste un dans l’énoncé du coup je ne sais pourquoi il y en a d’un coup trois? pourriez vous m’expliquez s’il vous plaît, merci d’avance!

  11. Merci beaucoup, très bien détaillé…!
    Pour ceux qui se plaignent pour la forme canonique je vous invite a rentrer dans la page de recherche et entrez l ‘expression « forme canonique ». MERCI!

  12. Merci ça va beaucoup m’aider et surtout pour la formule du calcul du sommet de la courbe, le prof nous avait pas donné cette formule.

  13. Je m’avance sur le programme de 1ere s et les explications sont beaucoup plus claires que dans les livres. Juste dommage qu’il n’y ai pas l’explication de la forme canonique. Merci beaucoup d’avoir fait ceci ^^

  14. Franchement avec ce cours se cours qui est très bien expliqué, pour les forme canonique je pense m’en sortir .

    Continué et merci beaucoup

  15. Explications très claires et très détaillées. Merci bcp pour votre aide, très précieuse car révisions de cours après 30 années de travail! BRAVO

  16. Bonjour,
    Dans le cours sur « Les polynômes du second degré », pouvez-vous rajouter la forme canonique. Ca serait cool !
    Merci,

    N.B. : Excellent site, très didactique …

  17. Je suis actuellement entre la Premiere et la Terminal S et il s’avère que cette notion me résistait encore. Mais après avoir pris le temps nécéssaire afin de lire ces excellentes explications, je ne peux que dire, merci Monsieur !

  18. Wow génial un cours étape par étape, l’an passé je n’ai pas vu correctement les fonctions du second degré alors cette année (première) j’ai paniqué en voyant la feuille de cours avec très peu d’explication (la majorité étant considéré comme acquis), grâce à ton super cour je vais pouvoir suivre demain ! Merci beaucoup

  19. Bonjour, cours tres interessant. Toute fois, j’ai un souci : Une fois que j’ai le Delta positif, je ne sais pas comment comparer les résultats obtenus des 2 solutions de x1 et x2. Quelqu’un peut-il m’aider svp?

  20. MERCIIIIII j’ai tout compris vous êtes supers ça aide quand on a une prof vraiment nulle 😉 grâce à vous je suis passée de 6 sur 20 à 18,5!!!!

  21. Merci infiniment pour ces explications !
    Je n’aurais jamais pus réussir à faire mon devoir maison dans votre aide !
    Les explications sont claires et bien formulées rien à redire sur votre travail qui est d’une grande qualité .

  22. Quand tu dit si delta <0 il y a 0 solution il faut mettre 0 solution réel car avec il y en a une de solution mais bon ca on le vois plus tard c sûrement pour ca que tu n’a pas mis le réel sinon tres bien expliqué bravo et merci ca ma permis de réviser

    1. Oui en effet je n’ai pas précisé pour ne pas alourdir ce qu’il y a à retenir !
      Mais je fais cette précision dans le chapitre sur les complexes évidemment.

  23. Waouh incroyable t’expliques vraiment bien t’utilises les bons mots un grand merci à toi je comptais faire mes propres fiches de révision je vais plutôt calqué sur les tiennes

  24. Bonjour, vous m’avez tout simplement sauvé la vie, un cours clair, complet et organisé, vous m’avez fait comprendre en 30minutes ce que mon prof n’a pas réussi en plusieurs semaines. MERCI!

  25. vous êtes merveilleu.x.se.s je n’avais jamais réussi à comprendre malgré un grand nombre de videos explicatives sur le sujet
    merci mille fois

  26. une fois de plus merci ! mais la simple remarque que j’ai fais est elle juste ? avec la dernière forme canonique j’ai mille fois essayer de dévelloper mais cela ne donne pas le f(x) du dèpart ! donc le fait que f(x) soit égale à a(x-@)^2+& serait faut pour S(@ ; &) si &=f(@).
    m
    e
    r
    c
    i
    😉

    1. Merci beaucoup ! Si tu développes la forme canonique tu dois retrouver la forme de départ, mais il faut remplacer alpha et beta par ce que ça vaut !

  27. Merci beaucoup pour ce cours, simple, clair et concis. J’avais besoin d’un rapide rappel, voilà chose faite grâce à vous merci, Merci

  28. Bonjour,

    J’ai récemment commencé un master où je me retrouve avec des maths et je viens d’un cursus sans math. Du coup, je tente de me mettre à jour niveau fonction et dérivé. A un moment, la prof prend un raccourcis et sait que « CT = 100 000 + Q² » donne une parabole. Est-ce que vous savez me dire pourquoi? (Q = 1000 . p et p est le prix d’un bien).

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