Exercices sur le binôme de Newton

Exercice 1
Calculer

$\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}\,$

puis

$\sum\limits_{k=0}^{n-1} (-1)^k \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}\,$

Exercice 2
Calculer ∀ n ≥ 2

$\sum\limits_{k=1}^{n-1} \begin{pmatrix} n+1\\ k+1 \end{pmatrix}\,$

Exercice 3
Calculer ∀ n ∈ N :

$\sum\limits_{k=0}^{n} k \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}\,$

Puis calculer ∀ n ∈ N :

$\sum\limits_{k=0}^{n} k(k-1) \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}\,$

En déduire :

$\sum\limits_{k=0}^{n} k^2 \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}\,$

Exercice 4
En remarquant que (1+x)²ⁿ = (1+x)ⁿ(1+x)ⁿ, calculer ∀ n ∈ N :

$\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}\,^2$

Posons

$\sum\limits_{k=0}^{n} k (\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}\,)^2$

Montrer que

$S = \sum\limits_{k=0}^{n} (n-k) (\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}\,)^2$

En déduire 2S puis S.

5 réflexions sur “ Exercices sur le binôme de Newton ”

Aline dit :

22 octobre 2015 à 21 h 24 min

Comment te dire cela simplement… : Tu es tout simplement génial merci merci merci :)!!!

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Alcas dit :

17 avril 2016 à 17 h 57 min

Je crois que vous avez écrit n au lieu de n-1 en haut du signe somme dans la vidéo de l’exercice 2, ce qui fait ensuite qu’il faille ajouter de plus le terme pour k=n !
Desolé au cas où je me trompe. .
Et merci de ce travail rigoureux !

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1. Méthode Maths dit :
  
  1 juin 2016 à 13 h 24 min
  
  Merci !
  Non j’ai vérifié aucune erreur dans la vidéo, mais écoute bien ce que je dis car les variables changent beaucoup dans cet exercice 😉
  
  Répondre
  1. Alcas dit :
    
    1 juin 2016 à 13 h 32 min
    
    Oui autant pour moi j’ai saisi mon erreur ! Sinon, peut-on démontrer qu’une fonction polynomiale de degrés n est continu grâce au binôme de Newton ? Merci d’avance et bonne journée
    
    Répondre
sawadogo dit :

20 novembre 2016 à 10 h 38 min

c est bien

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