Sujet de Bac sur les suites : Pondichéry 2010

Pondichéry 2010 exercice 1
Partie A : Roc
Soit a et b deux réels tels que a < b et f et g deux fonctions continues sur l’intervalle [a ,b]
On suppose connus les résultats suivants:

\(\displaystyle \int\limits_a^b (f(t) + g(t)) dt = \int\limits_a^b f(t) dt + \int\limits_a^b g(t) dt \)

Et si pour tout ∈ [a ; b], f(t) ≥ 0, alors

\(\displaystyle \int\limits_a^b f(t)dt \ge 0 \)

Montrer que : si pour tout t ∈ [a,b], f(t) ≤ g(t) alors

\(\displaystyle \int\limits_a^b f(t) dt \le \int\limits_a^b g(t) dt \)

Partie B
Soit n un entier naturel non nul. On appelle fn la fonction définie sur [0, +∞[ par fn(x)=ln(1 + xn) et on pose

\(\displaystyle I_n = \int\limits_0^1 ln(1 + x^n) dx \)

On note Cn la courbe représentative de fn.
1) a) Déterminer la limite de f1 en +∞
b) Étudier les variations de f1 sur [0, +∞[
c) À l’aide d’une intégration par parties, calculer I1
(Pour le calcul de I1 on pourra utiliser le résultat suivant : pour tout x ∈ [0 ; 1] :

\(\displaystyle \frac{x}{x + 1} = 1 – \frac{1}{x + 1} \)

2) a) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, on a 0 ≤ In ≤ ln2
b) Étudier les variations de la suite (In)
c) En déduire que la suite (In) est convergente.

3) Soit g la fonction définie sur [0, + ∞[ par g(x) = ln(l +x) – x
a) Étudier le sens de variation de g sur [0, + ∞[
b) En déduire le signe de g sur [0, +∞[
Montrer alors que pour tout entier naturel n non nul, et pour tout x réel positif, on a ln( 1 + xn )≤xn
c) En déduire la limite de la suite (In)




Retour au sommaire des annales Remonter en haut de la page

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *