Annales sur les probabilités Liban 2008

Liban 2008 exercice 1

Une urne A contient 4 boules rouges et 6 boules noires.
Une urne B contient 1 boule rouge et 9 boules noires.
Les boules sont indiscernables au toucher.

Partie A
Un joueur dispose d’un dé à 6 faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. Il le lance une fois : s’il obtient 1, il tire au hasard une boule de l’urne A, sinon il tire une boule de l’urne B.

1) Soit R l’événement « le joueur obtient une boule rouge ».
Montrer que p(R) = 0,15.

2) Si le joueur obtient une boule rouge, la probabilité qu’elle provienne de A est-elle supérieure ou égale à la probabilité qu’elle provienne de B ?

Partie B
Le joueur répète 2 fois l’épreuve décrite dans la partie A, dans des conditions identiques et indépendantes (c’est-à-dire qu’à l’issue de la première épreuve, les urnes retrouvent leur composition initiale).
Soit x un entier naturel non nul.
Lors de chacune des deux épreuves, le joueur gagne x euros s’il obtient une boule rouge et perd 2 euros s’il obtient une boule noire.
On désigne par G la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur en euros au terme des deux épreuves. La variable aléatoire G prend donc les valeurs 2x, x-2 et -4.

1) Déterminer la loi de probabilité de G.

2) Exprimer l’espérance E(G) de la variable aléatoire G en fonction de x.

3) Pour quelles valeurs de x a-t-on E(G) ≥ 0 ?


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