Sommaire
Partie A : ROC
On supposera connus les résultats suivants :
e0 = 1
Pour tout réels x et y : ex × ey = ex + y
1) Démontrer que pour tout réel x :
\(\displaystyle e^{-x} = \frac{1}{e^x} \)
2) Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel n :
\(\displaystyle (e^x)^n = e^{nx} \)
Partie B :
On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par :
\(\displaystyle u_n = \int\limits_0^1 \frac{e^{-nx}}{1 + e{-x}} dx \)
1) a) Montrer que u0 + u1 = 1
b) Claculer u1. En déduire u0.
2) Montrer que pour tout entier naturel n : un ≥ 0.
3) a) Montrer que pour tout entier naturel n non nul :
\(\displaystyle u_{n + 1} + u_n = \frac{1 – e^{-n}}{n} \)
b) En déuidre que pour tout entier naturel n non nul :
\(\displaystyle u_n \le \frac{1 – e^{-n}}{n} \)
4) En déduire la limite de la suite (un).
Retour au sommaire des annales Remonter en haut de la page
trop cool