Sujets de bac sur la fonction exponentielle

Liban 2010 exercice 1
Partie A : ROC
On supposera connus les résultats suivants :
e⁰ = 1
Pour tout réels x et y : e^x × e^y = e^{x + y}

1) Démontrer que pour tout réel x :

$e^{-x} = \frac{1}{e^x}$

2) Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel n :

$(e^x)^n = e^{nx}$

Partie B :
On considère la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par :

$u_n = \int\limits_0^1 \frac{e^{-nx}}{1 + e{-x}} dx$

1) a) Montrer que u₀ + u₁ = 1
b) Claculer u₁. En déduire u₀.

2) Montrer que pour tout entier naturel n : u_n ≥ 0.

3) a) Montrer que pour tout entier naturel n non nul :

$u_{n + 1} + u_n = \frac{1 - e^{-n}}{n}$

b) En déuidre que pour tout entier naturel n non nul :

$u_n \le \frac{1 - e^{-n}}{n}$

4) En déduire la limite de la suite (u_n).

Une réflexion sur “ Sujets de bac sur la fonction exponentielle ”

Méthode Maths