Annales sur les suites : France 2009

France métropolitaine 2009 exercice 1

Les 2 questions de cet exercice sont indépendantes.

1) On considère la suite (un) définie par :
u0 = 1 et pour tout entier naturel n : un+1 = un/3 + 4
On pose, pour tout entier naturel n : vn = un – 6

a )Pour tout entier naturel n, calculer vn+1 en fonction de vn.
Quelle est la nature de la suite (vn) ?

b) Démontrer que pour tout entier naturel n : un = -5 × (1/3)n + 6

c) Etudier la convergen de la suite (un).

2) On considère la suite (wn) dont les termes vérifient pour tout n ≥ 1 :
nwn = (n+1)wn-1 + 1 et w0 = 1

Le tableau suivant donne les 10 premiers termes de cette suite :

w0 w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8 w9
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

a) Détailler le calcul permettant d’obtenir w10.

b) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Donner la nature de la suite (wn). Calculer w2009




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