Annales sur les complexes : France 2007

France métropolitaine 2007 exercice 3
Partie A
On considère l’équation : (E) : z3 – (4+i)z2 + (13+4i)z – 13i = 0 où z est un nombre complexe.

1) Démontrer que le nombre complexe i est solution de cette équation.

2) Déterminer les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z on ait :
z3 – (4+i)z2 + (13+4i)z – 13i = (z-i)(az2 + bz + c)

3) En déduire les solutions de l’équation (E)

Partie B
On désigne par A, B et C les points d’affixe respectivs i, 2+3i et 2-3i

1) Soit r la rotation de centre B et d’angle π/4. Déterminer l’affixe du point A’, image du point A par la rotation r.

2) Démontrer que les points A’, B et C sont alignés et déterminer l’écriture complexe de l’homothétie de centre B qui transforme C en A’.



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