Inégalité de Cauchy-Schwarz et Hölder : démonstration et exercices

Sommaire

Démonstration de Cauchy-Schwarz
Autre démonstration de Cauchy-Schwarz
Application classique
Autre application
Démonstration de l’inégalité de Hölder

Démonstration de Cauchy-Schwarz

Dans cette vidéo nous allons démontrer l’inégalité suivante, appelée inégalité de Cauchy-Schwarz.
Soit E un espace vectoriel, alors pour tout (u ; v) appartenant à E2 :

\(\displaystyle |\lt u \, ; \, v \gt| \le ||u|| \, \times \, ||v|| \)

Dans quels cas cette inégalité est-elle une égalité ?

Remarque : < u ; v > représente le produit scalaire de u et de v, ||u|| représente la norme de u.

Autre démonstration

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Nous allons montrer ici deux cas particuliers de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Soit (u1, u2… un) et (v1, v2… vn) appartenant à Cn.
Montrer que :

\(\displaystyle \sum_{k = 1}^n |u_k \, v_k| \le (\sum_{k = 1}^n |u_k|^2)^{\frac{1}{2}} \times (\sum_{k = 1}^n |v_k|^2)^{\frac{1}{2}} \)

Soit f et g deux fonctions de C([0;1]).
Montrer que :

\(\displaystyle \int\limits_{0}^{1} |fg| \le (\int\limits_{0}^{1} |f|^2)^{\frac{1}{2}} \times (\int\limits_{0}^{1} |g|^2)^{\frac{1}{2}} \)

Application classique

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Pour le premier exercice nous allons voir une application classique.
Soit (x1, x2, x3…xn) une famille de Rn. Montrer que :

\(\displaystyle (\sum_{k = 1}^n x_k)^2 \le n \sum_{k = 1}^n (x_k)^2 \)

Dans quels cas cette inégalité est-elle une égalité ?

On suppose ensuite que les termes x1, x2, x3…xn sont strictement positifs, et que :

\(\displaystyle \sum_{k = 1}^n x_k = 1 \)

Montrer que :

\(\displaystyle \sum_{k = 1}^n \frac{1}{x_k} \ge n^2 \)

Dans quels cas cette inégalité est-elle une égalité ?

Autre application

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Autre exercice d’application de l’inégalité de Cauchy-Schwarz : soit (x ; y ; z) appartenant à R3.
Montrer que :

\(\displaystyle 2x^2 + y^2 + 5z^2 \le 1 \Rightarrow (x + y + z)^2 \le \frac{17}{10} \)

Démonstration de l’inégalité de Hölder

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Soit (u1, u2… un) et (v1, v2… vn) appartenant à Cn.
Montrer que pour tous réels strictement positifs p et q tels que 1/p + 1/q = 1, on a :

\(\displaystyle \sum_{k = 1}^n |u_k||v_k| \le (\sum_{k = 1}^n |u_k|^p)^{\frac{1}{p}} \times (\sum_{k = 1}^n |v_k|^q)^{\frac{1}{q}} \)

Cette inégalité est appelée l’inégalité de Hölder, cas général de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

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