Sommaire
Exemples simples pour la convergence des séries
Séries avec des factorielles – critère de d’Alembert
Le critère de Cauchy
Convergence de la série harmonique alternée
Divergence de séries par comparaison avec 1/n
Convergence avec calcul de la somme
Séries avec des racines de n en puissance
Séries avec une somme ou un produit
Séries avec ln(n)
Convergence des séries de fonctions
Comparaison série intégrale
Equivalent et somme de Riemann
Problème de Bâle
Approximation de Pi avec Python
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Etudier la convergence des séries suivantes :
\(\textstyle u_n = \frac{8n + 1}{3n^3 – n^2 + 4} \)
\(\textstyle u_n = \frac{\sqrt{n} + 1}{n^3 – 5\sqrt{n} + 9} \)
\(\textstyle u_n = n \times sin(\frac{1}{n}) \)
\(\textstyle u_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \times ln(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}) \)
L’exercice consiste à étudier la convergence des séries suivantes :
Pour la première vidéo :
\(\textstyle u_n = \frac{a^n}{n!}, \, a \in \mathbb{R} \)
\(\textstyle v_n = \frac{n!}{n^n} \)
\(\textstyle w_n = \frac{n!n^n}{(2n)!} \)
Pour la deuxième vidéo :
\(\textstyle u_n = \frac{1}{n!} \)
\(\textstyle v_n = \frac{ln(n^n)}{n!} \)
Etudier la convergence des séries suivantes :
\(\textstyle u_n = (\frac{n + 4}{2n – 1})^n \)
\(\textstyle v_n = (\frac{n – 8}{3n + 5})^{n(-1)^n} \)
Cet exercice est très classique et peut être considéré comme du cours.
On considère la série de terme général :
\(\textstyle a_n = \frac{(-1)^n}{n} \)
1) Est-ce que cette série est absolument convergente ?
2) On pose :
\(\displaystyle S_n = \sum_{k = 1}^{n} a_k \)
On pose deux suites un = S2n et vn = S2n+1
Montrer que (un) et (vn) sont adjacentes.
En déduire que la série [an] converge.
3) Montrer que la série [an] converge d’une autre manière.
Etudier la convergence des séries suivantes :
\(\textstyle u_n = \frac{ln(n)}{ln(e^n – 1)} \)
\(\textstyle v_n = (\frac{1}{n})^{1 + \frac{1}{n}} \)
L’exercice consiste à étudier la convergence de la série de terme général :
\(\displaystyle u_n = nx^n, \, x \in ]-1;1[ \)
Même exercice que précédemment, déterminer la convergence des séries suivantes :
\(\textstyle u_n = (\frac{1}{2})^{\sqrt{n}} \)
\(\textstyle v_n = ne^{-\sqrt{n}} \)
\(\textstyle u_n = \frac{1 \times 3 \times 5 \times … \times (2n-1)}{2 \times 4 \times 6 …\times (2n)} \)
\(\textstyle v_n = \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n}}{ln(n!)} \)
Encore le même principe, on va étudier la convergence des séries suivantes :
\(\textstyle u_n = \frac{(-1)^n ln(n)}{n} \)
\(\textstyle v_n = \frac{(-1)^n}{nln(n)} \)
\(\textstyle w_n = \frac{cos(n^2 \times \pi)}{nln(n)} \)
Pour tout entier naturel n, et tout réel x, on pose :
\(\displaystyle f_n(x) = \frac{x^n e^{-x}}{n !} \)
1) Montrer la convergence simple de (fn) sur R+
2) Montrer la convergence uniforme de (fn) sur R+
3) Montrer que la série [fn] convergence simplement sur R+
4) Soit a un réel strictement positif.
Montrer que la série [fn] converge normalement sur [0 ; a].
5= Montrer que la série [fn] ne converge pas uniformément sur R+
Pour tout entier n strictement positif, on pose :
\(\displaystyle S_n = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} \)
1) Donner la nature de la série de terme général [1/√k]
2) Donner un équivalent de Sn
Pour n entier strictement positif, donner un équivalent de :
\(\displaystyle S_n = \sum_{k = n + 1}^{2n} \frac{1}{\sqrt{k}} \)
On rappelle le principe des sommes de Riemann : pour une fonction f continue dur [a ; b] :
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{b – a}{n} \sum_{k = 1}^{n} f(a + k\frac{b – a}{n}) = \int_{a}^{b} f(t) dt \)
Le problème de Bâle consiste à calculer la somme suivante :
\(\displaystyle S = \sum_{k = 1}^{+ \infty} \frac{1}{k^2} \)
Il y a plusieurs méthodes, ici nous allons étudier une méthode étonnante !
Comment trouver une approximation de Pi avec la fonction arctan ?
Nous verrons que cela est lié aux séries.
Puis nous verrons comment appliquer cela en Python !
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