Sommaire
Calcul du gradient
Calcul de la divergence
Calcul du rotationnel
Calcul du laplacien scalaire et démonstration d’une formule
Calcul du laplacien vectoriel
Montrer que rot(grad(f)) = 0
Montrer que div(rot(u)) = 0
Montrer qu’un vecteur dérive d’un potentiel et le calculer
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Calculer
\(\displaystyle \overrightarrow{grad}(f) \)
avec :
\(\displaystyle f(x \, ; \, y \, ; \, z) = 3x^2 + 8y -7e^z + 9 \)
puis
\(\displaystyle f(r \, ; \, \theta \, ; \, z) = 5r^2 + 2cos(\theta) -3rz \)
Calculer :
\(\displaystyle div(\vec{u}) \)
avec :
\(\displaystyle \vec{u} = \left(\begin{array} 3x – 2z \\ 8x^2 – 9\sqrt{y} + 3yz \\ 7x – 2y^3 \end{array}\right) \)
puis avec :
\(\displaystyle \vec{u} = \left(\begin{array} 3r^5 + 2\theta \\ 7r – 2sin(\theta) + 3z \\ 8r^2 + 7z\end{array}\right) \)
Calculer :
\(\displaystyle \overrightarrow{rot}(\vec{u}) \)
avec :
\(\displaystyle \vec{u} = \left(\begin{array} 3xy – 5z \\ xz^2 – 2y^3 \\ x + 3e^z \end{array}\right) \)
Calculer :
\(\displaystyle \Delta f \)
avec :
\(\displaystyle f(x \, ; \, y \, ; \, z) = 3x^2y + 7 e^{3y} – 9cos(z) \)
Montrer par ailleurs que :
\(\displaystyle \Delta f = div(\overrightarrow{grad}(f)) \)
Calculer :
\(\displaystyle \vec{\Delta}(\vec{u}) \)
avec :
\(\displaystyle \vec{u} = \left(\begin{array} 8xyz^2 \\ 7e^{3z} \\ cos(y) + x^3 \end{array}\right) \)
Montrer que :
\(\displaystyle \overrightarrow{rot}(\overrightarrow{grad}(f)) = \vec{0} \)
La démonstration sera faite en coordonnées cartésiennes.
Montrer que :
\(\displaystyle div(\overrightarrow{rot}(\vec{u})) = 0 \)
La démonstration sera faite en coordonnées cartésiennes.
Montrer que le vecteur :
\(\displaystyle \overrightarrow{V} = \begin{pmatrix} y \\ x + z \\ y + 2z \end{pmatrix} \)
dérive d’un potentiel et calculer ce potentiel.
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