Exercices sur la divergence, le gradient, le rotationnel et le laplacien

Sommaire

Calcul du gradient
Calcul de la divergence
Calcul du rotationnel
Calcul du laplacien scalaire et démonstration d’une formule
Calcul du laplacien vectoriel
Montrer que rot(grad(f)) = 0
Montrer que div(rot(u)) = 0
Montrer qu’un vecteur dérive d’un potentiel et le calculer

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Calcul du gradient

Calculer

\(\displaystyle \overrightarrow{grad}(f) \)

avec :

\(\displaystyle f(x \, ; \, y \, ; \, z) = 3x^2 + 8y -7e^z + 9 \)

puis

\(\displaystyle f(r \, ; \, \theta \, ; \, z) = 5r^2 + 2cos(\theta) -3rz \)

Calcul de la divergence

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Calculer :

\(\displaystyle div(\vec{u}) \)

avec :

\(\displaystyle \vec{u} = \left(\begin{array} 3x – 2z \\ 8x^2 – 9\sqrt{y} + 3yz \\ 7x – 2y^3 \end{array}\right) \)

puis avec :

\(\displaystyle \vec{u} = \left(\begin{array} 3r^5 + 2\theta \\ 7r – 2sin(\theta) + 3z \\ 8r^2 + 7z\end{array}\right) \)

Calcul du rotationnel

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Calculer :

\(\displaystyle \overrightarrow{rot}(\vec{u}) \)

avec :

\(\displaystyle \vec{u} = \left(\begin{array} 3xy – 5z \\ xz^2 – 2y^3 \\ x + 3e^z \end{array}\right) \)

Calcul du laplacien scalaire et démonstration d’une formule

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Calculer :

\(\displaystyle \Delta f \)

avec :

\(\displaystyle f(x \, ; \, y \, ; \, z) = 3x^2y + 7 e^{3y} – 9cos(z) \)

Montrer par ailleurs que :

\(\displaystyle \Delta f = div(\overrightarrow{grad}(f)) \)

Calcul du laplacien vectoriel

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Calculer :

\(\displaystyle \vec{\Delta}(\vec{u}) \)

avec :

\(\displaystyle \vec{u} = \left(\begin{array} 8xyz^2 \\ 7e^{3z} \\ cos(y) + x^3 \end{array}\right) \)

Montrer que rot(grad(f)) = 0

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Montrer que :

\(\displaystyle \overrightarrow{rot}(\overrightarrow{grad}(f)) = \vec{0} \)

La démonstration sera faite en coordonnées cartésiennes.

Montrer que div(rot(u)) = 0

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Montrer que :

\(\displaystyle div(\overrightarrow{rot}(\vec{u})) = 0 \)

La démonstration sera faite en coordonnées cartésiennes.

Montrer qu’un vecteur dérive d’un potentiel et le calculer

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Montrer que le vecteur :

\(\displaystyle \overrightarrow{V} = \begin{pmatrix} y \\ x + z \\ y + 2z \end{pmatrix} \)

dérive d’un potentiel et calculer ce potentiel.

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