Exercices sur les équations fonctionnelles

Sommaire

Équation fonctionnelle de Cauchy
Équation utilisant l’équation de Cauchy
Équation de Jensen

Équation fonctionnelle de Cauchy

Trouver toutes les fonctions f continues telles que pour tout (x ; y) appartenant à R² :

$f(x + y) = f(x) + f(y)$

C’est ce que l’on appelle l’équation de Cauchy, qui est un exercice très classique ! On se ramènera souvent à une équation de Cauchy comme on le verra dans les autres exercices.
On va décomposer la raisonnement en plusieurs parties :
1) Montrer que pour tout réel x, f(nx) = nf(x) pour tout n appartenant à N^*
2) Montrer que pour tout réel x, f(nx) = nf(x) pour tout n appartenant à Z
3) Montrer que pour tout réel x, f(nx) = nf(x) pour tout n appartenant à Q
4) Montrer que pour tout réel x, f(x) = xf(1)
5) Conclure

Équation utilisant l’équation de Cauchy

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Trouver toutes les fonctions f dérivables telles que pour tout (x ; y) appartenant à R² :

$f(x + y) = f(x) \times f(y)$

Tu as peut-être remarqué que cela ressemble fortement à l’équation de Cauchy (avec un × à la place du +).
De plus ici f est dérivable.
Nous allons résoudre de deux manières différentes.
1) Trouver une équation différentielle vérifiée par f et la résoudre.
2) Effectuer un changement de variable pour se ramener à une équation de Cauchy et résoudre (on montrera notamment que f(x) ≥ 0 voire f(x) > 0 dans certains cas).