Le déterminant d’une matrice

Sommaire

Introduction
Les matrices 2 x 2
Les matrices diagonales et triangulaires
Les matrices 3 x 3 : règle de Sarrus
Formules avec le déterminant
Développement selon 1 ligne ou 1 colonne
Matrices de Vandermonde
Exercices

Introduction

Nous allons voir dans ce chapitre comment calculer le déterminant d’une matrice. Celui-ci ne se calcule que pour des matrices carrées, donc on parlera ici, ce qui simplifie les choses.
Il faut tout d’abord préciser que le déterminant d’une matrice est un réel, pas une matrice !
Ainsi :

$\Huge A \in M_{n}(\mathbb{R}), mais \, det(A) \in \mathbb{R}$

Nous avions vu dans le cours sur les matrices que le déterminant sert à savoir si une matrice est inversible ou non. En effet, une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul : c’est la principale utilité du déterminant.

Nous verrons tout d’abord le cas particulier des matrices 2 x 2, puis l’autre cas particulier des matrices 3 x 3 avec la règle de Sarrus.
Nous verrons également d’autres cas particuliers comme les matrices diagonales et triangulaires.

La méthode du développement selon une ligne ou une colonne sera également traitée.

Les matrices 2 x 2

Avant de commencer, parlons un peu de notation.
Le déterminant d’une matrice A se note det(A).

Quand on a la matrice en entier, le déterminant se note entre des barres et non entre des parenthèses.
Prenons un exemple :

$\Huge A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 4 \end{pmatrix}$

$\Huge det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 4 \end{vmatrix}$

Comme tu le vois il suffit de remplacer les parenthèses par des traits verticaux, rien de compliqué !

Il est très facile de calculer le déterminant d’une matrice 2 x 2 car il y a une formule très simple.

Prenons le cas général :

$\Huge A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

Le déterminant se calcule en multipliant les deux termes de la diagonales : a x d, puis les deux autres : b x c.
On soustrait alors, ce qui donne det(A) = a x d – b x c.
Ainsi det(A) = ad – bc

—
$\Huge \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
—

Exemple :

$\Huge A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 4 \end{pmatrix}$

$det(A) = 1 \times 4 - 3 \times 7$

$det(A) = -17$

Rien de bien compliqué, il faut juste connaître la formule !

Les matrices diagonales et triangulaires

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Autre cas particulier très simple : les matrices diagonales et triangulaires.

Que ce soit pour une matrice diagonale, triangulaire inférieure ou triangulaire supérieure, la règle est la même : le déterminant d’une telle matrice est égal au produit des coefficients diagonaux, tout simplement !!

Exemples :

$\Huge \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -9 \end{vmatrix} = 2 \times 5 \times (-9) = - 90$

$\Huge \begin{vmatrix} 3 & 2 & 8 \\ 0 & 4 & 9 \\ 0 & 0 & 7 \end{vmatrix} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

$\Huge \begin{vmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 6 & -5 & 4 \end{vmatrix} = 6 \times (-7) \times 4 = - 168$

Une des méthodes pour calculer le déterminant d’une matrice sera donc de la décomposer en faisant apparaître une matrice diagonale.

D’une manière générale, si on a une matrice A diagonale ou triangulaire de taille n, comme les a_i,i sont les coefficients diagonaux, on a :

$det(A) = \displaystyle \prod_{i=1}^n a_{i,i}$
si A est diagonale ou triangulaire

—
Remarque : on aura donc en particulier det(Id) = 1, puisque Id est une matrice diagonale dont tous les coefficients valent 1.
—

Les matrices 3 x 3 : règle de Sarrus

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Le déterminant d’une matrice 3 x 3 peut se calculer de différentes façons.
Si c’est une matrice diagonale ou triangulaire, on utilise ce que l’on vient de voir.
On peut aussi développer selon une ligne ou une colonne (voir plus bas).
Sinon on peut utiliser une règle particulière qui ne s’applique que pour les matrices 3 x 3 : la règle de Sarrus.

On prend donc une matrice 3 x 3 la plus générale possible :

$\Huge \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$

Pour comprendre la règle de Sarrus le mieux est de faire des schémas. Il y a deux méthodes visuelles différentes, voyons tout d’aobrd la première :

Mais qu’est-ce-que c’est que ce schéma ??
En fait c’est plutôt simple (les deux schémas sont les mêmes, dans les deux premiers les coefficients ont juste été enlevés pour avoir une autre vision).

On multiplie entre eux les coefficients qui sont « barrés » de la même couleur, par exemple a, e et i.
On aura donc a x e x i.
De même pour d, h et c barrés en bleu on aura d x h x c.

Cela donne donc en tout 6 produits (puisqu’il y a 6 couleurs) :
aei, dhc et bfg pour la matrice de gauche
gec, dbi et ahf pour la matrice de droite.

On additionne les 3 produits de la matrice de gauche, et on fait de même pour la matrice de droite :
aei + dhc + bfg pour la matrice de gauche
gec + dbi + ahf pour la matrice de droite.

Et enfin on soustrait, sans oublier la parenthèse devant le signe – !!
aei + dhc + bfg – (gec + dbi + ahf).

Et voilà, c’est fini !

On en déduit la formule générale :

—
$\Huge \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + dhc + bfg - (gec + dbi + ahf)$
—

—
Penses bien à mettre les parenthèses et attention au signe – devant la parenthèse !
—

Bon en effet cette formule n’est pas pratique à retenir, c’est beaucoup plus simple de retenir les schémas fais ci-dessus

Voyons tout de suite un exemple :
Soit la matrice A :

$\Huge A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -5 \\ 8 & 1 & -3 \\ -9 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

Alors :

$\Huge det(A) = 2 \times 1 \times 7 + 8 \times 6 \times (-5) + -9 \times 4 \times (-3) - ((-9) \times 1 \times (-5) + 8 \times 4 \times 7 + 2 \times 6 \times (-3))$

$\Huge det(A) = 14 - 240 + 108 - (45 + 224 - 36)$

$\Huge det(A) =-351$

Avec cet exemple en vidéo tu devrais encore mieux comprendre

Passons maintenant à la deuxième méthode visuelle.
Pour cela, il faut écrire la matrice mais recopier aussi les deux premières colonnes après :

Ensuite c’est plus ou moins le même principe que ci-dessus, mais plus simple visuellement car on prend des « diagonales » :

Comme ci-dessus, on multiplie les coefficients « barrés » de la même couleur, on additionne ceux de gauche entre eux et ceux de droite entre eux, et on soustrait en pensant bien à la parenthèse après le signe – !!

Nous verrons un exemple en vidéo pour l’application de cette deuxième méthode.

Plus tu t’entraîneras plus cela te paraîtra facile, donc n’hésite pas à faire plusieurs exercices !

Formules avec le déterminant

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Plusieurs formules existent avec le déterminant.
Tout d’abord la plus utilisée :

$det(AB) = det(A) \times det(B)$

Et on pourrait montrer par récurrence (entraîne-toi à la faire ) que :

$det(A^n) = (det(A))^n$

Mais attention !!

$det(A + B) \ne det(A) + det(B)$

Dans le même ordre d’idée, il existe une formule présentant un piège : soit k un réel et A une matrice de taille n, alors :

$det(kA) = k^ndet(A)$
pour k réel et A de taille n

—
Attention !! Beaucoup d’élèves pensent que det(kA) = kdet(A), mais c’est faux !!
—

Ainsi, le déterminant n’est pas une forme linéaire mais une forme multilinéraire.

La démonstration de cette formule est plutôt simple.
On a vu que Id x A = A, on a donc :

det(kA) = det(k x Id x A)
det(kA) = det((kId) x A)
det(kA) = det(kId) x det(A)
det(kA) = kⁿ det(A)

Et voilà !
Remarque : det(kId) = kⁿ car kId est une matrice diagonale ne comportant que des k sur sa diagonale.

Autre formule :

$det(^{t}A) = det(A)$

Autrement dit, le déterminant d’une matrice ou celui de sa transposée est le même.
Cela permet de montrer que si une matrice est inversible, sa transposée l’est aussi.
En effet, si A est inversible, det(A) ≠ 0, donc det(^tA) ≠ 0 puisque det(^tA) = det(A).
Donc ^tA est inversible, et on montre assez facilement que (^tA)^-1 = ^t(A^-1) (l’inverse de la transposée est égale à la transposée de l’inverse).

Dernière formule :

Si A est une matrice inversible

$det(A^{-1}) = det(A)^{-1}$

que l’on peut aussi écrire

$det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)}$

L’hypothèse A inversible est importante, sinon A^-1 n’existe pas…
De plus, comme A est inversible, det(A) ≠ 0 donc det(A) peut bien être au dénominateur.

Cette dernière formule se démontre très rapidement :
On sait que :

$\Huge A \times A^{-1} = I$

Prenons le déterminant de cette égalité :

$\Huge det(A \times A^{-1}) = det(Id)$

On sépare en appliquant la formule vue ci-dessus, et on a vu que det(Id) = 1, donc :

$\Huge det(A) \times det(A^{-1}) = 1$

$\Huge det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)}$

Et voilà !
Evidemment on a le droit de diviser par det(A) car det(A) ≠ 0 puisque, par hypothèse, A est inversible.

Développement selon une ligne ou une colonne

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Si aucune des techniques précédentes ne marche, une autre méthode consiste à développer le déterminant selon une ligne ou une colonne.

Pour cela, nous allons tout d’abord affecter un signe + ou – à chaque coefficient de la matrice : le terme tout en haut à gauche est toujours +, puis on alterne + et – si on se dirige vers la gauche, la droite, le bas ou le haut, ce qui pourrait donner de manière schématique, par exemple pour une matrice 3 x 3 et 4 x 4 :

$\Huge A = \begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}$

$\Huge A = \begin{pmatrix} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{pmatrix}$

Maintenant que chaque coefficient a un signe + ou -, on va choisir une ligne ou une colonne.
On peut prendre celle que l’on veut mais nous verrons dans les exercices qu’il vaut mieux la prendre de manière intelligente (souvent celle où il y a le plus de 0).
Prenons la matrice suivante et choisissons la première ligne :

$\Huge A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 2 & 9 & 8 \\ 3 & 7 & 6 \end{pmatrix}$

Les coefficients de la première (1, 4 et 5) ligne vont être recopiés en mettant leur signe défini précédemment (+ pour 1, – pour 4 et + pour 5). Ils seront après multipliés par quelque chose (pour l’instant on met …) :
1 x … – 4 x … + 5 x …

Pour finir, on remplace les … par le déterminant de la matrice obtenue en barrant la ligne et la colonne correspondant au coefficient

Pas de panique ! Nous allons faire des schémas pour que cela soit plus compréhensible.

Le premier coefficient, 1, correspond à la première ligne et la première colonne.
Si je barre cette ligne et cette colonne j’obtiens :

Je vais donc multiplier 1 par le déterminant de cette matrice obtenue.

$\Huge \begin{vmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 2 & 9 & 8 \\ 3 & 7 & 6 \end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} 9 & 8 \\ 7 & 6 \end{vmatrix} - 4 \times ... + 5 \times ...$

De même, le coefficient 4 correspond à la première ligne et la deuxième colonne, en les barrant j’obtiens :

Je multiplie donc 4 par le déterminant de cette matrice :

$\Huge \begin{vmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 2 & 9 & 8 \\ 3 & 7 & 6 \end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} 9 & 8 \\ 7 & 6 \end{vmatrix} - 4 \times \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} + 5 \times ...$

Enfin, le coefficient 5 correspond à la première ligne et la troisième colonne, en les barrant j’obtiens :

Je multiplie donc 5 par le déterminant de cette matrice.

Ainsi j’obtiens la formule :

$\Huge \begin{vmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 2 & 9 & 8 \\ 3 & 7 & 6 \end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} 9 & 8 \\ 7 & 6 \end{vmatrix} - 4 \times \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} + 5 \times \begin{vmatrix} 2 & 9 \\ 3 & 7 \end{vmatrix}$

Et je remplace les déterminants que je calcule avec les méthodes vues précédemment :

$\Huge \begin{vmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 2 & 9 & 8 \\ 3 & 7 & 6 \end{vmatrix} = 1 \times (-2) - 4 \times (-12) + 5 \times (-13)$

$\Huge \begin{vmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 2 & 9 & 8 \\ 3 & 7 & 6 \end{vmatrix} = -19$

Voyons un autre exemple avec une matrice 4 x 4 :

$\Huge A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 & 6 \\ -1 & 5 & 6 & 9 \\ 3 & 7 & 1 & -6 \\ 4 & -2 & 3 & 5 \end{pmatrix}$

Nous allons développer selon la deuxième colonne par exemple, les coefficients sont donc 4, 5, 7 et -2 (affectés des signes – + – + d’après ce qu’on a vu plus haut).
En barrant les lignes et les colonnes, on obtient les matrice suivantes :

Ce qui donne :

$\Huge det(A) = - 4 \times \begin{vmatrix} -1 & 6 & 9 \\ 3 & 1 & -6 \\ 4 & 3 & 5 \end{vmatrix} + 5\times \begin{vmatrix} 2 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & -6 \\ 4 & 3 & 5 \end{vmatrix} - 7 \times \begin{vmatrix} 2 & 5 & 6 \\ -1 & 6 & 9 \\ 4 & 3 & 5 \end{vmatrix} + (-2) \times \begin{vmatrix} 2 & 5 & 6 \\ -1 & 6 & 9 \\ 3 & 1 & -6 \end{vmatrix}$

Il faut ensuite continuer le calcul en calculant les 4 déterminants, par exemple avec la règle de Sarrus ou en développant selon une ligne ou une colonne (oui c’est long…)

C’est donc une méthode assez longue, sauf quand on a plein de zéros !
Imaginons que l’on ait la matrice suivante :

$\Huge A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 & 6 \\ -1 & 0 & 7 & 0 \\ 3 & 7 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 0 & 5 \end{pmatrix}$

On développe par la ligne ou la colonne qui a le plus de zéros : ici c’est la troisième colonne.
Les coefficients sont 0, 7, 0 et 0 (affectés des signes + – + -) :

$\Huge \begin{vmatrix} 2 & 4 & 0 & 6 \\ -1 & 0 & 7 & 0 \\ 3 & 7 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 0 & 5 \end{vmatrix} = 0 \times ... - 7 \times \begin{vmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 3 & 7 & 0 \\ 4 & -2 & 5 \end{vmatrix} + 0 \times ... - 0 \times ...$

A la place des … il devrait y avoir des déterminants de matrices mais comme ils sont multipliés par 0 cela n’a aucune importance ! Normalement on ne les met d’ailleurs pas, c’est juste pour te montrer le développement selon la colonne.
On a donc :

$\Huge \begin{vmatrix} 2 & 4 & 0 & 6 \\ -1 & 0 & 7 & 0 \\ 3 & 7 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 0 & 5 \end{vmatrix} = - 7 \times \begin{vmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 3 & 7 & 0 \\ 4 & -2 & 5 \end{vmatrix}$

Il reste à calculer le déterminant de la matrice 3 x 3, mais nous avons vu précédemment comment faire avec Sarrus par exemple !

Comme tu le vois c’est très rapide, mais encore faut-il avoir développé selon la troisième colonne, qui est celle qui a le plus de 0, car ainsi on a une expression moins longue à calculer.

De manière générale, on a la formule :

Si on développe selon la i^ème ligne :
$det(A) = \displaystyle \sum_{j=1}^n (-1)^{i+ j} a_{i,j} det(A_{i,j})$

Si on développe selon la j^ième colonne :
$det(A) = \displaystyle \sum_{i=1}^n (-1)^{i+ j} a_{i,j} det(A_{i,j})$
(seule la variable de la somme change)

Dans ces formules, A_i,j correspond à la matrice obtenue en rayant la i^ème ligne et la j^ème colonne de la matrice A.
(-1)^i+j correspond au fait que l’on mette + ou – devant le coefficient suivant sa position dans la matrice.
Le terme (-1)^i+jdet(A_i,j) est appelé le cofacteur du terme a_i,j et le terme det(A_i,j) est appelé le mineur du terme a_i,j.

Il existe d’autres méthodes pour calculer le déterminant d’une matrice, notamment par récurrence, mais qui utilise les méthodes vues précédemment et que l’on verra en exercice.

Matrices de Vandermonde

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Les matrices dites de Vandermonde sont des matrices ayant une forme très particulière.
Prenons n nombres α₁, α₂, α₃ etc… α_n et formons la matrice suivante (notée V pour Vandermonde):

$\Huge V = {\begin{pmatrix}1&\alpha _{1}&{\alpha _{1}}^{2}&\dots &{\alpha _{1}}^{{n-1}}\\1&\alpha _{2}&{\alpha _{2}}^{2}&\dots &{\alpha _{2}}^{{n-1}}\\1&\alpha _{3}&{\alpha _{3}}^{2}&\dots &{\alpha _{3}}^{{n-1}}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\1&\alpha _{n}&{\alpha _{n}}^{2}&\dots &{\alpha _{n}}^{{n-1}}\\\end{pmatrix}}$

On a alors la formule suivante :

$\det(V)=\displaystyle \prod _{{1\leq i<j\leq n}}(\alpha _{j}-\alpha _{i})$

Nous démontrerons cette formule en vidéo car cela est plus pratique
Tu dois connaître la formule mais tu dois aussi savoir la redémontrer !! Car la démonstration peut être considérée comme un exercice à part entière dans le cas d’un déterminant d’une matrice de Vandermonde (ou d’une matrice y ressemblant).

Dans la formule, il est bien spécifié i < j, pas i ≤ j !! En effet, si i = j on aurait dans le produit le terme α_i – α_i, donc 0, et donc tout le produit serait nul…
Pour faire simple, le déterminant vaut le produit de toutes les combinaisons α_j – α_i avec i < j. Prenons un exemple :

$\Huge V = {\begin{pmatrix}1&\alpha _{1}&{\alpha _{1}}^{2}&{\alpha _{1}}^{{3}}\\1&\alpha _{2}&{\alpha _{2}}^{2} &{\alpha _{2}}^{{3}}\\1&\alpha _{3}&{\alpha _{3}}^{2}&{\alpha _{3}}^{{3}}\\1&\alpha _{4}&{\alpha _{4}}^{2}&{\alpha _{4}}^{{3}}\\\end{pmatrix}}$

$det(V) = (\alpha _{2} - \alpha _{1})(\alpha _{3} - \alpha _{1})(\alpha _{3} - \alpha _{2})(\alpha _{4} - \alpha _{1})(\alpha _{4} - \alpha _{2})(\alpha _{4} - \alpha _{3})$

—
Remarque : si 2 coefficients α_i sont égaux, le déterminant vaudra 0, car un des facteurs du produit sera nul…
En revanche si les coefficients α_i sont 2 à 2 distincts, alors le déterminant sera non nul.
—

—
Autre remarque : le déterminant contient $\displaystyle{n \choose 2}$ facteurs.
En effet, comme il y a toutes les combinaisons possibles de 2 coefficients sans qu’ils puissent être égaux, cela revient à faire un tirage simultané de 2 coefficients parmi les n, donc $\displaystyle{n \choose 2}$ .
Et en effet dans l’exemple il y a 6 facteurs, et $\displaystyle{4 \choose 2}$ = 6.
—

N’hésite pas à t’entraîner à calculer ce genre de déterminant, c’est un très bon exercice !

Exercices

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