Sommaire
Suites arithmético – géométriques
Comment écrire les nombres en lettres ?
Q est dense dans R
R\Q est dense dans R
Log(2) est irrationnel
Les rationnels ont une partie décimale périodique
Construire une racine avec une règle et un compas
Perpendiculaire avec une règle et un compas
Approximation de Pi
Une étrange égalité
Are, hectare et centiare
Fonction indicatrice
Racine de racine de racine…
Une égalité géométrique
Somme des angles d’une triangle
Des racines au dénominateur
Des racines dans des racines !
Egalité avec des k parmi n
Équation avec exponentielle
Signe d’une expression
Inéquation avec des polynômes
Théorème des valeurs intermédiaires
Etudier la suite (un) définie sur N par un+1 = aun + b, avec a ≠ 0 et a ≠ 1 et b ≠ 0
Application : en 2021, une ville compte 500 habitants. Tous les ans, 20% des habitants partent et 1200 nouveaux arrivent.
Soit (un) le nombre d’habitants en milliers à l’année 2021 + n
1) Donner u0
Justifier que un+1 = 0,8un + 1,2
2) On pose vn = un – 6
Montrer que (vn) est une suite géométrique, puis exprimer vn et un en fonction de n
3) Donner la limite de (un)
Nous allons voir les différentes règles permettant d’écrire les nombres en lettres !
Montrer que 
Montrer maintenant que
Montrer par l’absurde que log(2) est irrationnel.
Nous allons montrer que les nombres rationnels ont une écriture décimale finie ou infinie périodique, mais que les irrationnels ont une écriture décimale infinie non périodique.
Nous allons voir comment construire racine de p à la règle et au compas, et en même temps montrer le théorème de la moyenne géométrique.
Nous allons voir comment construire une droite perpendiculaire à une autre avec seulement une règle et un compas, et comment tracer l’escargot de Pythagore avec seulement ces outils.
Montrer que pour tout x non nul :
\(\displaystyle cos(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{4})cos(\frac{x}{8})…=\frac{sin(x)}{x} \)
puis en déduire une méthode pour faire une approximation de Pi.
Nous allons montrer que :
\(\displaystyle 1 + 2 + 3 + 4 + … = \frac{-1}{12} \)
Evidemment cela est faux mais nous allons voir ce que nous amène à cette égalité.
Nous étudierons aussi la somme suivante :
\(\displaystyle 1 – 2 + 3 – 4 + … \)
Nous allons voir comment convertir les ares, hectares et centiares en m2.
Nous allons étudier en détail la fonction indicatrice puis faire quelques calculs de simplification avec la fonction indicatrice.
Que vaut l’expression suivante :
\(\displaystyle x = \sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{…}}}}}} \)
Nous verrons comment prouver le résultat aussi en Python !
Nous allons démontrer l’égalité suivante grâce à une figure géométrique :
arctan(1) + arctan(2) + arctan(3) = Π
Tu sais depuis l’école primaire que la somme des angles d’un triangle vaut 180°.
Mais saurais tu démontrer cette propriété de manière simple ?
Simplifier les expressions suivantes pour ne plus avoir de racine carrée au dénominateur :
\(\displaystyle \frac{8 + 4\sqrt{5}}{3 – \sqrt{5}} \)
\(\displaystyle \frac{6 – 2\sqrt{7}}{5 – \sqrt{3}} \)
Simplifier les expressions suivantes :
\(\displaystyle \sqrt{9 – 4\sqrt{5}} \)
\(\displaystyle \sqrt{17 + 8\sqrt{3}} \)
\(\displaystyle \sqrt{16 – 6\sqrt{7}} \)
\(\displaystyle \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} \)
Montrer que ∀ k,n ∈ N*, tels que k ≤ n, et ∀ i ∈ [| k ; n |] :
\(\displaystyle \begin{pmatrix} n\\ i \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} i\\ k \end{pmatrix}\, = \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} n-k\\ i-k \end{pmatrix} \)
Résoudre sur R :
\(\displaystyle e^{2x} + 4 e^x + 1 – 6e^{-x} = 0 \)
Astuce : trouver un polynôme P de degré 3 tel que P(ex) = 0
Déterminer le signe de x après avoir montré son existence avec :
\(\displaystyle x = ln(\sum\limits_{k=0}^{11} (-1)^k \begin{pmatrix} 11\\ k \end{pmatrix}\, \frac{1}{100^k}) \)
Résoudre sur R l’inéquation 3x3 > x + 2
Soit f une fonction continue sur [0 ; 1] à valeurs dans [0 ; 1].
Montrer que l’équation f(x) = x admet au moins une solution sur [0 ; 1].