Exercices divers

Exercice 1 (suites arithmético – géométriques)
Etudier la suite (u_n) définie sur N par u_n+1 = au_n + b, avec a ≠ 0 et a ≠ 1 et b ≠ 0

Exercice 2
Exprimer avec les symboles ∑ et ∏ les expressions suivantes, où a₁, a₂, a₃ et a₄ sont des réels :
a₁ + a₂ + a₃ + a₄
a₁a₂ + a₂a₃ + a₃a₄
a₁ + a₁a₂ + a₁a₂a₃ + a₁a₂a₃a₄
a₁a₂a₃ + a₂a₃a₄
a₁a₂ + a₁a₃ + a₁a₄ + a₂a₃ + a₂a₄ + a₃a₄
a₁(a₁+a₂)(a₁+a₂+a₃)(a₁+a₂+a₃+a₄)

Exercice 3
Montrer que ∀ k,n ∈ N^*, tels que k ≤ n, et ∀ i ∈ [| k ; n |] :

$\begin{pmatrix} n\\ i \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} i\\ k \end{pmatrix}\, = \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} n-k\\ i-k \end{pmatrix}\,$