Exercices divers

Sommaire

Suites arithmético – géométriques
Q est dense dans R
Manipulation de sommes et produits
Egalité avec des k parmi n
Équation avec exponentielle
Signe d’une expression
Inéquation avec des polynômes
Factorisation de polynôme
Théorème des valeurs intermédiaires

Les suites arithmético – géométriques
Etudier la suite (un) définie sur N par un+1 = aun + b, avec a ≠ 0 et a ≠ 1 et b ≠ 0

Application : en 2021, une ville compte 500 habitants. Tous les ans, 20% des habitants partent et 1200 nouveaux arrivent.
Soit (un) le nombre d’habitants en milliers à l’année 2021 + n
1) Donner u0
Justifier que un+1 = 0,8un + 1,2
2) On pose vn = un – 6
Montrer que (vn) est une suite géométrique, puis exprimer vn et un en fonction de n
3) Donner la limite de (un)

Densité de Q dans R

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Montrer que \mathbb{R} est archimédien puis que \mathbb{Q} est dense dans \mathbb{R} .

Manipulation de sommes et produits

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Exprimer avec les symboles ∑ et ∏ les expressions suivantes, où a1, a2, a3 et a4 sont des réels :
a1 + a2 + a3 + a4
a1a2 + a2a3 + a3a4
a1 + a1a2 + a1a2a3 + a1a2a3a4
a1a2a3 + a2a3a4
a1a2 + a1a3 + a1a4 + a2a3 + a2a4 + a3a4
a1(a1+a2)(a1+a2+a3)(a1+a2+a3+a4)


Egalité avec des k parmi n

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Montrer que ∀ k,n ∈ N*, tels que k ≤ n, et ∀ i ∈ [| k ; n |] :

Équation avec exponentielle

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Résoudre sur R :

Astuce : trouver un polynôme P de degré 3 tel que P(ex) = 0

Signe d’une expression

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Déterminer le signe de x après avoir montré son existence avec :

Inéquation avec des polynômes

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Résoudre sur R l’inéquation 3x3 > x + 2

Factorisation de polynôme

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Factoriser f(x) = x4 + 5x3 + 8x2 – 2x -12

Théorème des valeurs intermédiaires

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Soit f une fonction continue sur [0 ; 1] à valeurs dans [0 ; 1].
Montrer que l’équation f(x) = x admet au moins une solution sur [0 ; 1].



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