Sommaire
Les bases des suites
Représentation graphique
Construction graphique
Les suites de base
Suite ni arithmétique ni géométrique
Monotonie
Suite majorée, minorée, bornée
Les limites
Propriété importante sur les limites
Théorème sur les limites
Exercices
Intérêt des suites
Nous allons voir ici une nouvelle notion : les suites.
Au début cela te semblera peut-être un peu dur mais en fait non, c’est simple ! Cela ressemble un peu aux fonctions.
Déjà une suite, qu’est-ce-que c’est ? C’est un peu comme une fonction mais qui ne serait définie que pour les entiers, c’est-à-dire qu’il n’y aurait que f(0), f(1), f(2), f(3)… Sauf qu’on écrit u0, u1, u2, u3…
Par exemple un = 8n + 4
donc u0 = 8 x 0 + 4 = 4
u1 = 8 x 1 + 4 = 12 …
Ensuite il faut savoir qu’il y a 2 façons de décrire une suite :
– La formule explicite : on a un en fonction de n, comme un = 8n + 4
Si je te demande de calculer u200, tu remplaces n par 200 : u200 = 8 x 200 + 4 = 1604, pas de problème !
– La formule récurrente : là on a un+1 en fonction de un, comme un+1 = 3un + 2.
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Attention ! Pour calculer u22, tu remplaces n par 21, puisque c’est n+1 qui doit valoir 22…
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Pour calculer u22, tu remplaces donc n par 21 : u22 = u21+1 = 3 x u21 + 2. Mais il faut donc calculer u21 ! Mais pour calculer u21 il faut u20, et pour calculer u20… Tu as compris que ce n’est pas pratique pour calculer un terme éloigné de u0 comme u35 par exemple, par contre on s’en servira tout à l’heure 
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ATTENTION ! Parfois les suites ne commencent pas à 0 ! Dans l’énoncé, il peut être marqué :
Pour tout n ≥ 2, on définit un par patiti patata… A ce moment-là u0 et u1 n’existent pas, et tu dois alors commencer à u2. Il est possible de commencer à 1, 2, 3, 4…
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Attention aussi : « n » est TOUJOURS positif !!! Tu ne verras jamais u -1 ou u – 4 par exemple, ça n’existe pas !
On utilisera le fait que n est positif plus tard.
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Dernière remarque : il ne faut pas confondre un et (un) (avec et sans parenthèse).
Dans les calculs tu mets un sans parenthèse car il s’agit d’un terme de la suite, par exemple un = 4
Par contre dans les phrases tu mets (un) avec parenthèses car il s’agit de la suite (un) en entier, par exemple (un) est croissante, (un) est minorée, (un) est convergente etc…
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Dans un plan, on représente la suite par des points, puisque la suite n’est définie que pour 0, 1, 2, 3… contrairement à une fonction.
Pour les suites récurrentes (un+1 en fonction de un), il est possible de construire graphiquement la suite ! Cela est souvent demandé. Profites-en ce sont des points gagnés très facilement, il n’y a quasiment rien à savoir !
Le principe est très simple, on va prendre un petit exemple :
un+1=-√(un)+6, et u0=4.
On trace alors f(x) = √(x)+6 (généralement on te donne la fonction déjà tracée). Il te suffit de tracer la droite d’équation y = x (qui est la diagonale). Puis tu places le u0 : jusque-là, rien de compliqué 
Ensuite comme c’est un peu plus compliqué (enfin un tout petit peu^^), on a préféré te faire une belle animation en vidéo pour que tu comprennes mieux 
Tu dois savoir qu’il y a 2 types de suites que l’on utilise souvent : les suites géométriques et les suites arithmétiques.
Une suite arithmétique, c’est quand on fait « +r » à chaque nouveau terme, avec r qui est un réel.
Par exemple, on prend r = 3, et u0=2
Et bien u1=5, u2=8, u3=11, u4=14, u5=17, etc…
Comme tu le vois, on fait +3 à chaque nouveau terme.
Le « r » s’appelle la raison de la suite (r comme raison évidemment^^).
Pour les suites géométriques c’est le même principe, sauf qu’on MULTIPLIE à chaque fois par un nombre, que l’on appelle la raison mais que l’on note q.
Par exemple q = 2 et u0=3
On a alors u1=6, u2=12, u3=24, u4=48, u5=96, etc…
Comme tu le vois on multiplie par la raison q (qui ici vaut 2) à chaque fois.
Il existe des formules à connaître pour les suites géométrique et arithmétiques, un petit tableau ne fera pas de mal
| Formule | Suites arithmétiques | Suites géométriques |
|---|---|---|
| Explicite | un = u0 + nr | un = u0 x qn |
| Récurrente | un+1 = un + r | un+1 = un x q |
| Somme | \( \frac{(1er \, terme + dernier \, terme) (nbre \, de \, termes)}{2} \) | \( 1er \, terme \frac{1 – q^{nbr \, de \, termes}}{1 -q} \) |
| Formule | Suites arithmétiques | Suites géométriques |
|---|---|---|
| Explicite | un = u0 + nr | un = u0 x qn |
| Récurrente | un+1 = un + r | un+1 = un x q |
| Somme |  |
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(la somme sera expliquée un peu plus loin^^)
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ATTENTION ! Les formules des suites explicites ci-dessus ne sont valables que si les suites commencent à n = 0.
Si une suite commence à p, les formules sont alors :
\(\textstyle u_n = u_p + (n-p)r \)
\(\textstyle u_n = u_p \times q^{n-p} \)
En fait on remplace 0 par p et n par n-p.
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Par exemple : un est une suite arithmétique de 1er terme u2 = 5, et de raison r = -7. Alors :
\(\textstyle u_n = u_2 + (n-2)r \)
\(\textstyle u_n = 5 -7(n-2) \)
\(\textstyle u_n = 5 -7n + 14 \)
\(\textstyle u_n = -7n + 19 \)
Mais ce genre de situation se retrouve rarement dans les exercices, et les suites commencent souvent à n = 0.
Si les formules explicites et récurrentes ne devraient pas poser problème, la dernière ligne demande peut-être quelques explications…
On a une suite (un) et on cherche à calculer la somme des 1ers termes, c’est-à-dire :
S = u0 + u1 + u2 + u3 + … +un
Autrement dit, on cherche à calculer :
\(\textstyle S=\sum\limits_{k=0}^{n} u_k \)
Et bien si la suite (un) est arithmétique ou géométrique, on applique directement la formule qui est dans le tableau !
Un petit exemple ne fera pas de mal :
Prenons un = 6 – 5n, pour n ≥ 0.
On voit clairement que un est une suite arithmétique de raison -5 et de premier terme 6.
On cherche alors à calculer :
\(\textstyle \sum\limits_{k=0}^{n} u_k \)
Autrement dit on cherche à calculer la somme des 1ers termes jusqu’à n : on applique donc la formule de la 3ème ligne du tableau
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ATTENTION !! Si la somme va de 0 à n, il y a n + 1 termes !!!! Et non pas n termes.
Par exemple, de 0 à 4, il y a 0, 1, 2, 3, 4, ce qui fait 5 termes !!
Par contre si la somme va de 1 à n, là oui il y a n termes.
—
La formule nous donne :
\(\textstyle \sum\limits_{k=0}^{n} u_k = (n + 1) \times\frac{u_0 + u_n}{2} \)
\(\textstyle \sum\limits_{k=0}^{n} u_k = (n + 1) \times\frac{6 + 6 – 5n}{2} \)
\(\textstyle \sum\limits_{k=0}^{n} u_k = (n + 1) \times\frac{12 – 5n}{2} \)
Ici comme (un) est une suite arithmétique on applique la formule pour les suites arithmétiques, mais bien sûr si elle était géométrique on aurait appliqué l’autre formule.
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ATTENTION ! Beaucoup de personnes pensent que la formule pour une suite géométrique est :
\(\textstyle S = \frac{1 – q^n}{1 -q} \)
Mais cela n’est valable que s’il y a n termes et que le 1er terme vaut 1 !!
Au numérateur, c’est bien q puissance « nombre de termes ».
Et il ne faut pas oublier le 1er terme avant la fraction, il ne faut donc pas aller trop vite^^
—
Par ailleurs, pour montrer qu’une suite est arithmétique ou géométrique, c’est facile :
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Pour montrer qu’une suite est arithmétique on calcule un + 1 – un et on doit trouver une constante.
pour montrer qu’une suite est géométrique on calcule un + 1 et on doit trouver une constante fois un.
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Il est conseillé d’aller voir dans les sujets de bac sur les suites, il y a certaines questions concernant ces techniques.
Avec ces exercices sur les suites arithmétiques et ces exercices sur le suites géométriques, tu verras comment appliquer certaines formules vues plus haut.
On vient de voir comment montrer qu’une suite est arithmétique ou géométrique.
En revanche, pour montrer qu’une suite N’EST PAS arithmétique ou géométrique, la méthode est très différente : il faut prendre un contre-exemple.
En effet, si on montre que la formule ne marche pas pour les premiers termes, elle ne pourra pas être vraie pour tout entier n (elle le sera peut-être pour certains mais pas pour tous).
La méthode est la suivante :
Pour montrer qu’une suite N’EST PAS arithmétique, on calcule u1 – u0 et u2 – u1.
Le résultat ne sera pas le même, donc la suite n’est pas arithmétique.
Si jamais le résultat est le même (cela peut parfois arriver), on fait la même chose avec les termes d’après : on calcule u2 – u1 et u3 – u2 et on trouvera un résultat différent.
Si jamais la suite commence à u1 on calcule évidemment u2 – u1 et u3 – u2, il faut s’adapter à l’énoncé !
Attention, si jamais tu calcules u1 – u0, u2 – u1, u3 – u2 etc… et que tu trouves le même résultat, c’est sûrement parce que la suite est arithmétique, il ne faut pas alors faire ce raisonnement mais l’autre, c’est-à-dire calculer un+1 – un et trouver une constante.
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ATTENTION !! Ce n’est pas parce que u1 – u0 et u2 – u1 sont égaux que la suite est arithmétique !! Cela sert uniquement si on trouve des résultats différents, et on dit alors que la suite n’est pas arithmétique.
Si on trouve le même résultat, on ne peut rien dire, donc on ne l’écrit même pas sur la copie !
—
Pour montrer qu’une suite N’EST PAS géométrique, c’est le même principe mais on calcule u1/u0 et u2/u1 : il faut trouver des résultats différents, et alors on peut dire que la suite n’est pas géométrique.
Les autres remarques faites juste au dessus pour les suites non arithmétiques sont aussi valables pour les suites non géométriques.
Voyons tout de suite un exemple.
On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : un = 3n2 + 2.
Montrons que cette suite n’est ni arithmétique ni géométrique.
Pour cela, commençons par calculer les premiers termes :
u0 = 3× 02 + 2 = 2
u1 = 3× 12 + 2 = 5
u2 = 3× 22 + 2 = 14
Montrons d’abord qu’elle n’est pas arithmétique :
u1 – u0 = 5 – 2 = 3
et u2 – u1 = 14 – 5 = 9
3 ≠ 9 donc u1 – u0 ≠ u2 – u1
Donc la suite (un) n’est pas arithmétique.
Montrons que la suite n’est pas géométrique :
u1/u0 = 5/2 = 2,5
et u2/u1 = 14/5 = 2,8
2,5 ≠ 2,8 donc u1/u0 ≠ u2/u1
Donc la suite (un) n’est pas géométrique.
Ainsi (un) n’est ni arithmétique ni géométrique.
Comme tu le vois c’est très simple ! 
Deux vidéos d’exercices sont disponibles sur ce que l’on vient de voir en cliquant ici !
Quand dans un énoncé on te demande « étudier la monotonie de la suite », il faut chercher si la suite est croissante ou décroissante, tout simplement !
Tu dois alors savoir que :
\(\displaystyle Si\,u_{n + 1}\, -\, u_n\, \ge \, 0 \)
\(\displaystyle la\, suite\, (u_n)\, est\, croissante \)
\(\displaystyle Si\,u_{n + 1}\, -\, u_n\, \le \, 0 \)
\(\displaystyle la\, suite\, (u_n)\, est\, décroissante \)
Du coup, pour savoir si une suite est croissante ou décroissante, on fait quoi ?? Et bien on calcule un+1 – un et on regarde le signe : si c’est positif, la suite est croissante, si c’est négatif, la suite est décroissante
Pour être plus précis :
\(\displaystyle Si\,u_{n + 1}\, -\, u_n\, \gt \, 0 \)
\(\displaystyle (u_n)\, est\, strictement \, croissante \)
\(\displaystyle Si\,u_{n + 1}\, -\, u_n\, \lt \, 0 \)
\(\displaystyle (u_n)\, est\, strictement \, décroissante \)
Quelques petits exemples en vidéo devraient t’aider pour t’entraîner
Une suite majorée c’est quoi ?
C’est tout simplement une suite qui est inférieure à un nombre : pour tout n, un ≤ M, où M est un réel.
Une suite minorée c’est l’inverse, elle est plus grande qu’un certain nombre : pour tout n, un ≥ m, où m est un réel.
Et une suite bornée ? Tout bêtement, c’est une suite à la fois minorée et majorée :
m ≤ un ≤ M
Tout comme les fonctions, les suites ont des limites ! Et là c’est assez simple, puisque les règles sont les mêmes
Par exemple, (+∞) × (+∞) = +∞
+∞ × 0 = forme indéterminée, etc… Nous t’invitions à revoir le cours sur les limites
Une remarque importante cependant pour les suites :
LA LIMITE D’UNE SUITE SE FAIT TOUJOURS EN +∞ !!!!!
C’est-à-dire quand n tend vers +∞.
Donc n’écris jamais
\(\displaystyle \lim_{n \to – \infty} u_n \)
c’est une erreur monumentale !! Surtout qu’on a dit avant que n était toujours positif, donc ce serait bizarre qu’il tende vers –∞…
Du coup quand on te dit de calculer la limite de un, c’est sous-entendu quand n tend vers +∞ :
\(\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n \)
—
ATTENTION cette limite n’existe pas toujours : si la suite a une limite, on dit qu’elle est CONVERGENTE.
Si une suite n’a pas de limite (en +∞ bien sûr), on dit qu’elle est DIVERGENTE.
un = cos(n) par exemple n’a pas de limite, donc cette suite diverge.
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—
ATTENTION aussi (décidemment y’a plein de attention dans ce chapitre 
) : pour être convergente, il faut que la limite soit un nombre, comme 5, 12, √8, π/2… mais pas ±∞ !! Si la limite est ±∞, la suite est divergente.
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Attention enfin à ne pas confondre : quand on dit qu’une suite est divergente, elle ne tend pas forcément vers l’infini !
Quand elle diverge, ça veut dire qu’elle n’a pas de limite ou qu’elle tend vers ±∞.
—
Une petite propriété à connaître car on l’utilise souvent : les limites des suites géométriques :
\(\displaystyle \lim_{n \to + \infty}q^n \)
La règle est simple :
\(\displaystyle Si \,-1\,<\,q\,<1, \lim_{n \to + \infty}q^n = 0 \)
\(\displaystyle Si \, q \, \gt \,1\,\lim_{n \to + \infty}q^n = +\infty \)
\(\displaystyle Si\,q\,\leq\,-1\,il\,n’y\,a\,pas\,de\,limite \)
Et si q = 1, qn = 1, donc la limite vaut 1 mais ce n’est pas très intéressant…
C’est le prermier cas, c’est-à-dire si -1 < q < 1, qu’il faut absolument retenir car c’est le plus fréquent, et celui dont tu auras le plus besoin.
Pour s’en rappeler c’est très simple :
Si -1 < q < 1 par exemple ½, et bien quand on multiplie par ½, on divise par 2. Donc si on prend un gâteau et qu’on n’arrête pas de le diviser par 2, les parts seront minuscules à la fin, donc la limite est 0.
Si q > 1, par exemple 2, on multiplie par 2 à chaque fois, donc forcément ça va tendre vers +∞.
Si q ≤ -1, et bien c’est alternativement + et -, par exemple :
si q = -2, (-2)3 = -8 et (-2)4 = 16, (-2)5 = -32, etc… on a donc une suite qui augmente en changeant de signe, donc il n’y a pas de limite.
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ATTENTION A TOUJOURS BIEN JUSTIFIER CELA !!
Par exemple, si tu dois calculer
\(\displaystyle \lim_{n \to + \infty}\left(\frac{5}{8}\right)^n \)
Il faut bien dire : comme -1 < 5/8 < 1
\(\displaystyle \lim_{n \to + \infty}\left(\frac{5}{8}\right)^n = 0 \)
Si tu ne justifies pas tu n’auras pas les points !! En plus tu auras souvent ce genre de limites à calculer, donc prends bien l’habitude de toujours justifier.
—
—
Fais attention aussi à bien mettre STRICTEMENT compris entre -1 et 1, si tu mets inférieur ou égal et supérieur ou égal c’est tout faux !!
—
Il y a deux théorèmes très importants à retenir sur les limites car on les utilise souvent :
\(\displaystyle Si\, une\, suite\, est\, croissante\, \)
\(\displaystyle et\, majorée, \)
\(\displaystyle alors\, elle\, est\, convergente \)
\(\displaystyle Si\, une\, suite\, est\, décroissante\, \)
\(\displaystyle et\, minorée, \)
\(\displaystyle alors\, elle\, est\, convergente \)
Pour ne pas confondre les 2, utilise la logique ! Si elle est croissante (en gros « elle monte ») il faut qu’elle ne dépasse pas un certain niveau pour être convergente, donc majorée, le fait qu’elle soit minorée n’apporte rien. C’est bien sûr le contraire si elle est décroissante.
Souvent les énoncés sont rédigés de la sorte :
a) Etudier la monotonie de la suite
b) Montrer que la suite est majorée (ou minorée ça dépend)
c) Montrer que (un) est convergente, ou Conclure sur la convergence de la suite
Là ils t’aident beaucoup avec le numéro des questions En effet, dans le a) tu montres que la suite est croissante ou décroissante, dans le b) tu montres qu’elle est minorée ou majorée, et en c) tu conclus avec la propriété ! Rédige bien pour montrer que tu utilises la propriété, dis par exemple :
On a vu que (un) est croissante et majorée. Or on sait qu’une suite croissante et majorée est convergente, donc (un) est convergente. Et voilà, tout bête
—
ATTENTION ! Ce n’est pas parce qu’une suite est majorée ou minorée par 2 qu’elle tend vers 2 !!!
Elle peut très bien être minorée par -5 par exemple et tendre vers 0.
Si on prend un = 1/n, on a bien un ≥ -5 puisque un est positif, et ce n’est pas pour ça que (un) tend vers -5 !
Au contraire puisque (un) tend vers 0…
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Tu trouveras sur cette page tous les exercices sur les suites !
Le principal intérêt des suites, c’est de modéliser des phénomènes qui ont lieu à intervalles réguliers.
On peut citer par exemple tout ce qui est lié à la banque, avec les taux d’intérêts et les annuités entre autres. Les suites sont donc très utilisées dans la finance.
Les suites permettent également de trouver la valeur approchée de certains nombres comme π, voire des fonctions.
C’est ainsi que l’on retrouve les suites dans la méthode d’Euler en physique, que l’on voit en terminale S, qui sert à approcher une fonction de manière très précise.
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ce site convient parfaitement aux élèves qui se préparent à des études scientifiques
je sais dis merci
merci infiniment !!!
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Merci !
Bonsoir Monsieur !
Merci beaucoup pour votre cours sur les suites ! A vrai dire, j’étais totalement perdue avec mon prof soporifique, mais maintenant c’est vraiment mieux ! Vos explications sont très explicites et faciles à comprendre. Merci beaucoup !
J’aurais juste une chose à vous proposer: c’est d’ajouter la partie : « comment savoir si la suite est arithmétique, géométrique ou autre? ». Avec la méthode du contre-exemple en calculant les premières valeurs de la suite. Et ainsi vous s’il est nécessaire d’appliquer la méthode [un+1 – un = r] pour la suite arithmétique et (un+1)/un pour la suite géométrique.
Sinon, merci beaucoup ! ça se voit que vous êtes passionnés !
Merci beaucoup pour ton message !
Oui en effet c’est prévu de rajouter cela et de faire des vidéos dessus 😉
Merci beaucoup pour les éclaircissements. C’est vraiment lucides, vos explications
merci pour vos explications
plus d’exercices seront parfaits
J-CR
Merci ! C’est prévu mais pas pour tout de suite 🙂
bonjour.
théorème sur les suites ( erreur) concernant les limites; suite décroissante et minorée alors suite DIVERGENTE et non Convergente.
Merci pour ce site
La suite est convergente si elle est décroissante et minorée !