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Lien avec la fonction ln
Dérivée
Intégrale et primitive
Sujets de bac
Intérêt de la fonction exponentielle
Nous allons découvrir une fonction TRES sympathique : la fonction exponentielle !
Cette fonction se note ex ou exp(x), mais cette deuxième notation est moins courante.
Dans les 2 cas on dit « exponentielle de x », « exponentielle x » ou « e de x ».
Commençons par tracer la courbe de la fonction :
A partir de la courbe on peut voir pas mal de choses intéressantes.
Tout d’abord la fonction exponentielle est STRICTEMENT POSITIVE !
\(\textstyle e^x \gt 0 \)
Cela va être très pratique quand on aura à faire des tableaux de signe par exemple, ou pour trouver le signe d’une fonction.
Par ailleurs, la fonction exponentielle est STRICTEMENT CROISSANTE. On va également s’en servir par la suite.
On voit également sur la courbe le point A qui est intéressant, il nous dit que :
\(\textstyle e^0 = 1 \)
Ceci est très logique. Pourquoi ? Parce qu’en fait, quand on dit ex, cela signifie en réalité « e puissance x », ce pourquoi le x est en haut. « e » correspond en fait à un nombre qui vaut 2,71828182845… Ce nombre est un peu comme Pi, c’est une constante qui ne se finit jamais !
Donc e0 veut dire « e puissance 0 », ce qui vaut 1 car « n’importe quoi » puissance 0 vaut toujours 1 !
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Attention ! Beaucoup d’élèves disent e1 = 0, ce qui est archi-faux !
Ils confondent avec la fonction ln, où là oui ln(1)=0, mais pour la fonction exponentielle c’est l’inverse, c’est e0=1 
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La fonction exponentielle a également d’autres propriétés à connaître :
\(\textstyle e^x \,\times\,e^y=e^{x + y} \)
\(\textstyle \frac{e^x}{e^y}=e^{x-y} \)
\(\textstyle e^{-x} = \frac{1}{e^x} \)
\(\textstyle (e^x)^n = e^{x \times n } \)
Par exemple :
\(\displaystyle e^8 \times e^{2x} = e^{8 + 2x} \)
\(\displaystyle e^{2x + 3} = e^{2x} \times e^3 \)
\(\displaystyle ({e^x})^3 = e^{3x} \)
\(\displaystyle \frac{e^3}{e^{8x}} = e^{3 – 8x} \)
\(\displaystyle e^{3x – 7} = \frac{e^{3x}}{e^7} \)
\(\displaystyle e^{-6} = \frac{1}{e^6} \)
\(\displaystyle \frac{1}{e^{-4}} = e^4 \)
Tu auras remarqué que quand on passe l’exponentielle en-dessous ou au-dessus de la fraction, on change le signe de ce qu’il y a à l’intérieur de l’exponentielle !
Facile non ? 
C’est trop simple même je dirais
Fais ces exercices d’application des formules de la fonction exponentielle pour bien maîtriser ces calculs.
Parlons limite maintenant !
On voit facilement avec la courbe que :
\(\displaystyle \lim_{x \to – \infty} e^x = 0 \)
\(\displaystyle \lim_{x \to + \infty} e^x = +\infty \)
La seule difficulté ici, c’est quand on a des fonctions composées, mais cela reste assez simple !
Voici quelques exerccies sur les limites de fonctions composées pour s’entraîner.
De plus, il faut connaître deux limites particulières :
\(\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{e^x}{x} = +\infty \)
\(\displaystyle \lim_{x \to – \infty} xe^x = 0 \)
Normalement ces deux limites sont des formes indéterminées, ce pourquoi il faut les apprendre par coeur. Mais il y a un moyen simple de les retenir : tu fais comme si il n’y avait pas x, mais seulement ex !
\(\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{e^x}{x} = \lim_{x \to + \infty} e^x = +\infty \)
\(\displaystyle \lim_{x \to – \infty} xe^x = \lim_{x \to – \infty} e^x = 0 \)
Cela vient du fait que ex « domine » x, c’est-à-dire que x est négligeable devant ex, ce pourquoi on fait comme si il n’y avait pas de x.
On retrouve la même propriété pour la fonction ln, sauf que là c’est ln qui est négligeable devant x, donc on fait comme si il n’y avait pas de ln.
A noter que ces propriétés sont vraies pour toutes les puissances de x, donc x2, x3, x4, x5…
Exemple :
\(\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{e^x}{x^4} = +\infty \)
\(\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{e^x}{x^{17}} = +\infty \)
\(\displaystyle \lim_{x \to – \infty} x^9 e^x = 0 \)
\(\displaystyle \lim_{x \to – \infty} x^{65} e^x = 0 \)
Voyons à présent une fonction que l’on trouve souvent avec exponentielle : la fonction ln !
Pour plus de précisions sur cette fonction, va voir le cours sur la fonction ln
Mais quel est le rapport avec exponentielle ?
Et bien tout simplement :
\(\displaystyle e^{ln(x)} = x \)
De même
\(\displaystyle ln(e^x) = x \)
Les deux fonctions « s’annulent » entre elles. C’est ce qu’on appelle des fonctions réciproques.
D’accord c’est bien beau tout ça mais ça sert à quoi ?
A plein de choses ! 
Notamment à résoudre des équations ou inéquations avec des exponentielles .
Par exemple, si on veut résoudre :
\(\displaystyle 3 \, < \, e^x \)
on applique la fonction ln, et on ne change pas le sens de l’inégalité car la fonction ln est croissante !!!!!
\(\displaystyle ln(3) \, < \, ln(e^x) \)
\(\displaystyle ln(3) \, < \, x \)
De même, si on a
\(\displaystyle ln(x)\, < \,7 \)
on applique la fonction exponentielle, et on ne change pas le sens de l’inégalité car la fonction exp est croissante !!!!!
\(\displaystyle e^{ln(x)}\, <\, e^7 \)
\(\displaystyle x\, <\, e^7 \)
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ATTENTION ! Note bien qu’il faut absolument justifier comme on vient de le faire en disant que la fonction ln ou exponentielle est croissante, il serait bête de perdre des points à cause de ça, surtout que les professeurs adorent quand tu justifies, mais détestent quand tu ne justifies pas
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Attention également ! Quand tu justifies, tu peux dire « car la fonction exponentielle est croissante ». Mais bien sûr si tu appliques une autre fonction comme la fonction racine, il faut également justifier !
Il y a alors une rédaction à connaître que tu peux utiliser pour toutes les fonctions. Tu dis :
« car x |— > ex est croissante »
Il ne faut surtout pas oublier le trait vertical avant le trait horizontal !!
En fait, cela signifie « la fonction qui à x associe ex » , autrement dit la fonction exponentielle.
Ne dis surtout pas ex est croissante !!! Tout simplement parce que ex est un nombre, ce n’est pas une fonction. Et un nombre croissant ça ne veut pas dire grand chose…
De même, tu peux dire :
« car x |— > ln(x) est croissante »
« car x |— > √x est croissante »etc…
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Tu retrouveras tous ces détails dans les vidéos
Comme tu le vois, c’est très simple ! Entraîne toi avec ces exerccies sur les inéquations
La fonction exponentielle a également une autre propriété TRES sympathique qui va nous faciliter la vie :
la dérivée de ex est… ex ! Quand on dérive ex, on retrouve la même fonction !
\(\displaystyle (e^x)’ = e^x \)
Il faut faire cependant attention aux fonctions composées !! Si tu n’en t’en souviens plus, va voir le chapitre sur les dérivées composées. Regardons quelques exemples :
\(\textstyle g(x) = e^{x^2 + 3x – 4} \)
C’est une fonction composée de type eu, avec u = x2+3x-4
La dérivée de eu est u’ x eu.
\(\displaystyle (e^u)’ = u’ \times e^u \)
Ici u’ = 2x+3, donc
\(\textstyle g'(x) = (2x + 3)\, \times \,e^{x^2 + 3x – 4} \)
C’est comme d’habitude, on dérivé normalement et on multiplie par u’ ! Rien de méchant^^
Rappelle toi juste que la dérivée de eu est u’ × eu ! Avec le temps et quelques exerccies sur les dérivées composées ça deviendra tout naturel
Et pour terminer, voyons les intégrales avec des exponentielles ! Regarde d’abord le cours sur les intégrales avant de lire cette partie, sinon tu risques de ne rien comprendre 
La dérivée de ex étant ex, la primitive de ex est évidemment ex !
\(\textstyle \int\limits_a^b e^x dx = [e^x]_a^b = e^b – e^a \)
Par contre quand on a des fonctions composées, c’est-à-dire eu, ca se complique 
En fait, la primitive de u’ × eu est eu !! Si tu as eu, il faut donc faire apparaître u’ devant.
\(\textstyle \int\limits_a^b u’\times e^u dx = [e^u]_a^b = e^{u(b)} – e^{u(a)} \)
Voyons un petit exemple :
\(\textstyle A = \int\limits_4^5 e^{2x + 8} dx \)
On a eu avec u = 2x + 8 donc u’ = 2. Il faut donc faire apparaître 2 !
Comment on fait ? Et bien on multiplie par 2 en haut et en bas !
On a donc
\(\textstyle A =\int\limits_4^5 \frac{2}{2} \times e^{2x + 8} dx \)
Il n’y a que le 2 du haut qui nous intéresse, pas celui du bas, et comme c’est une constante, on peut le sortir de l’intégrale !
On a donc
\(\textstyle A = \frac{1}{2} \int\limits_4^5 2 \times e^{2x + 8} dx \)
et là on a bien u’ × eu !!
Donc
\(\textstyle A = \frac{1}{2} [e^{u}]_4^5 \)
\(\textstyle A = \frac{1}{2} [e^{2x + 8}]_4^5 \)
\(\textstyle A = \frac{1}{2} (e^{2\times 5 + 8}-e^{2\times 4 + 8}) \)
\(\textstyle A = \frac{1}{2} (e^{18}-e^{16}) \)
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Attention, ne pas oublier le 1/2 devant l’intégrale !! Il faut sortir les constantes qui ne servent pas à calculer la primitive comme le ½ ici par exemple, mais il ne faut pas oublier de les mettre dans la suite du calcul !!
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Cette partie étant parfois délicate, n’hésite pas à t’entraîner un peu avec ces exercices sur les intégrales d’exponentielle
Pour voir si tu as assimilé tout le chapitre, rien de tel que de faire des sujets de bac en vidéo !
Essaye de les chercher et de les faire tout seul avant de regarder la correction
Tu trouveras également sur cette page tous les exercices sur la fonction exponentielle !
La fonction exponentielle est une fonction de référence qu’il faut absolument maîtriser car on la retrouve dans de nombreux domaines et de nombreux chapitres !!
Tout d’abord en physique, on la trouve dans la radioactivité, puisque la loi de décroissance radioactive est exponenentielle. On retrouve aussi cette fonction en électricité pour la charge et la décharge d’un condensateur notamment.
En mathématiques, cette fonction est utilisée dans les équations différentielles, la solution des équations du 1er ordre étant une fonctionn exponentielle.
Dans les complexes, la fonction exponentielle sert à exprimer les points du plan d’une certaine manière.
Les probabilités comportent également des fonctions exponentielles pour certaines lois de probabilité.
Enfin, elle sert comme on l’a vu dans certaines équations avec la fonction ln.
Il y a bien sûr d’autres applications de la fonction ln, mais celles-ci sont celles que tu verras en terminale !
Bon et bien voilà, c’est tout ce que tu as à savoir sur la fonction exponentielle ! Il faut surtout retenir ses propriétés avec les calculs, car on retrouve souvent cette fonction dans les intégrales, les études de fonctions, les équations différentielles…
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Génial, merci !
Bonjour,
Ce cours est simple et bien résumé mais il se borne encore une fois à l’étude des propriétés utilisables en analyse de cet objet .
Pourquoi diable ne répond t-il pas à la question « qu’est donc l’exponentielle naturelle ? » on ne sait donc rien sur la nature arithmétique de ce nombre.
A la différence de la trigonométrie par exemple enseignée bien différemment !
On en maîtrise d’abord l’aspect géométrique avant de l’aborder en analyse.
En gros les élève savent manipuler e(x) mais ne le comprennent pas.
C’est un cours pour Terminale S et non pour classe prépa tout simplement 😉
Maintenant c’est un cours de 1ère …
Oui c’est pour ça que je l’ai mis également sur la page « Cours de 1ère »
Merci
Super merci beaucoup!
Merci vraiment à vous. Votre manière d’expliquer est facile à comprendre et à maîtriser. Merci une fois de + ……..!!!!!!!
Ce cours est très sympathique, bien résumé. On comprend très facilement. Merci
Cela me fait beaucoup rire car le compagnon de 68 ans d’une amie qui se prétend ingénieur, mathématicien et autre aero truc much travaillerait sur des exponentielles depuis plus de 10 ans à raison de plus 12 heures par jour !!!
Avoir autant de difficultés avec tous les diplômes et l’expérience qu’il prétend avoir… pour un programme de terminale… je trouvais déjà cela très « suspect » pour ce grand conférencier mais maintenant j’ai la confirmation que ce pingouin est un imposteur.
Merci !!
il est tres important de faire les mathematque
C’est vraiment très bien fait vraiment j’aime beaucoup on avait vraiment éclairer sur beaucoup de choses c’est très bon pour des gens qui ne comprennent pas la fonction exponentielle et qui n’a pas encore commencé pour moi qui a déjà commencé c’est vraiment quelque chose de génial
Merci bien vraiment
vos explications sont clair e compressible
merci d’avantage
j’aimerai vs demander si c’est possible de mettre les vidio dans un chaîne pour ns puissions télécharger e revoir kon on v
merci une second foi
attention à la partie sur la limite en -inf de xe^x et e^x, oui e^x domine x en l’infini dans les ordres de grandeur mais ça n’efface pas le signe de x (xe^x tend vers 0- tandis que e^x tend vers 0+). Je vois bien l’idée, mais le fait d’écrire lim(xe^x) x-> -inf = lim(e^x) peut vraiment porter à confusion
J’ai adoré votre explication .milles fois merci !
Il manque en effet une introduction sur l’origine « naturelle » de la fonction exponentielle, notamment la notion de « croissance exponentielle »: dans la reproduction, fonction principale de la biologie par exemple: j’ai 2 parents, 4 grands-parents, 8 arrières-grands-parents, 2 puissance n ancêtres de rang n, qui est une exponentielle: exp( n x ln(2)).
De même pour les descendants ou pour une réaction en chaine nucléaire: si 3 particules sont émises par une réaction et génèrent une réaction chacune, on aura 3 puissance n réactions au bout de n étapes = exp ( n x ln(3)).
Un peu plus compliqué, il faudrait évoquer la courbe de Gauss, très naturelle en probabilité, et indiquer qu’elle est directement liée à la fonction exponentielle.
Je suis satisfat de votre tavail
Grace à ce site je prends l,impossible au possible en mathématimatique . Je déplore mn temps perdu téléchargeant et suivant de chansons et films pendant que je souffrait d,une crise intéllectuelle .MERCI METHODE MATH
vraiment tres utile pour nous
Juste j’adore ce site !!!
Je suis très nul en maths j’ai vraiment besoin d’aide car je fais le bac
avec vs c’est facile à cmprendre. Et j cmpte revenir encore!
Vraiment super résumé
parfaitement genial
Merci bcp