Annales sur les suites : centres étrangers 2010

Centres étrangers 2010 exercice 4

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞ [ par :

Le but de cet exercice est d’étudier les suites (un) définies par un premier terme positif ou nul u0 et vérifiant pour tout entier naturel n :

1) Etude des propriétés de la fonction f
a) Etudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[
b) Résoudre dans l’intervalle [0 ; +∞[ l’équation f(x) = x
On note α la solution.
c) Montrer que si x appartient à l’intervalle [0 ; α], alors f(x) appartient à l’intervalle [0;α]
De même, montrer que si x appartient à l’intervalle [α ; +∞[, alors f(x) appartient à l’intervalle [α ; +∞[

2) Etude de la suite (un) pour u0 = 0
Dans cette question, on considère la suite (un) définie par u0 = 0 et pour tout entier naturel n :

a) Sur le graphique ci-dessous sont représentées les courbes d’équations y = x et y = f(x).
Placer le point A0 de coordonnées (u0 ; 0) et, en utilisant ces courbes, construire à partir du point A0 les points A1, A2, A3 et A4 d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives u1, u2, u3 et u4.
Quelles conjectures peut-on émettre quant au sens de variation et à la convergence de la suite (un) ?
b) Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ α
c) En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.

3) Etude des suites (un) selon les valeurs du réel positif ou nul u0
Dans cette question, toute trace d’argumentation, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Que peut-on dire du sens de variation et de la convergence de (un) suivant les valeurs du réel positif ou nul u0 ?




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