M est un point d’affixe z non nul. On désigne par M’ le point d’affixe z’ telle que :
où désigne le conjugué du nombre complexe z.
Partie A : quelques propriétés
1) Soit z un nombre complexe non nul. Déterminer une relation entre les modules de z et z’, puis une relation entre les arguments de z et z’.
2) Démontrer que les points O, M et M’ sont alignés.
3) Démontrer que pour tout nombre complexe z non nul, on a l’égalité :
Partie B. Construction de l’image d’un point
On désigne par A et B les deux points d’affixes respectives 1 et -1.
On note C l’ensemble des points M du plan dont l’affixe vérifie : |z – 1| = 1.
1) Quelle est la nature de l’ensemble C ?
2) Soit M un point de C d’affixe z, distinct du point O.
a) Démontrer que |z’ + 1| = |z’|. Interpréter géométriquement cette égalité.
b) Est-il vrai que si z’ vérifie l’égalité |z’ + 1| = |z’|, alors z vérifie l’égalité
|z – 1| = 1 ?
3) Tracer l’ensemble C sur une figure. Si M est un point de C , décrire et réaliser la construction du point M’.
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