Annales sur les probabilités Asie 2008

Asie 2008 exercice 2

On considère plusieurs sacs de billes S1, S2, …Sn, . . . tels que :
– le premier, S1, contient 3 billes jaunes et 2 vertes ;
– chacun des suivants, S2, S3…Sn contient 2 billes jaunes et 2 vertes.

Le but de cet exercice est d’étudier l’évolution des tirages successifs d’une bille de ces sacs, effectués de la manière suivante :
– on tire au hasard une bille dans S1 ;
– on place la bille tirée de S1 dans S2, puis on tire au hasard une bille dans S2 ;
– on place la bille tirée de S2 dans S3, puis on tire au hasard une bille dans S3 ;
– etc…

Pour tout entier n ≥ 1, on note En l’événement « la bille tirée dans Sn est verte » et on note p(En) sa probabilité.
1) Mise en évidence d’une relation de récurrence
a) D’après l’énoncé, donner les valeurs de :

En déduire la valeur de p(E2).
b) A l’aide d’un arbre pondéré, exprimer p(En+1) en fonction de p(En).

2) Etude d’une suite
On considère la suite (un) définie par :

a) Démontrer que la suite (un) est majorée par ½
b) Démontrer que la suite (un) est croissante.
c) Justifier que la suite (un) est convergente et préciser sa limite.

3) Evolution des probabilités p(En)
a) A l’aide des résultats précédents, déterminer l’évolution des probabilités p(En).
b) Pour quelles valeurs de l’entier n a-t-on 0,499 99 ≤ p(En) ≤ 0,5 ?



Retour au sommaire des annales Remonter en haut de la page


Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *