Annales sur les probabilités Antilles 2008

Antilles-Guyane 2008 exercice 2

On dispose de deux urnes U1 et U2 contenant des boules indiscernables au toucher.
U1 contient k boules blanches (k entier naturel supérieur ou égal à 1) et 3 boules noires.
U2 contient 2 boules blanches et une boule noire.
On tire une boule au hasard dans U1 et on la place dans U2. On tire ensuite, au hasard, une boule dans U2. L’ensemble de ces opérations constitue une épreuve.
On note B1 (respectivement N1) l’événement « on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l’urne U1 ».
On note B2 (respectivement N2) l’événement « on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l’urne U2 ».

1) a) Faire un arbre de probabilités décrivant la situation.
b) Montrer que la probabilité de l’événement B2 est égale à :

Dans la suite on considère que k = 12.
Les questions 2 et 3 sont indépendantes l’une de l’autre et peuvent être traitées dans n’importe quel ordre.

2) Un joueur mise 8 euros et effectue une épreuve.
Si, à la fin de l’épreuve, le joueur tire une boule blanche de la deuxième urne, le joueur reçoit 12 euros.
Sinon, il ne reçoit rien et perd sa mise.
Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur, c’est-à-dire la différence entre la somme reçue et la mise.

a) Montrer que les valeurs possibles de X sont 4 et -8.
b) Déterminer la loi de probabilité de la variable X.
c) Calculer l’espérance mathématique de X.
d) Le jeu est-il favorable au joueur ?

3) Un joueur participe n fois de suite à ce jeu.
Au début de chaque épreuve, l’urne U1 contient 12 boules blanches et 3 noires, et l’urne U2 contient 2 boules blanches et 1 noire.
Ainsi, les épreuves successives sont indépendantes.
Déterminer le plus petit entier n pour que la probabilité de réaliser au moins une fois l’événement B2 soit supérieure ou égale à 0,99.



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