Annales sur les suites : Antilles 2010

Antilles-Guyane 2010 exercice 4
Partie A
Soit g la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; + ∞[ par :
g(x) = x – xln(x)

1) Déterminer les limites de la fonction g en 0 et + ∞

2) Montrer que g est dérivable sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ et que g'(x) = -ln x

3) Dresser le tableau de variations de la fonction g.

Partie B
Soit (un) la suite définie pour tout n ∈ N* par un = en/nn

1) Conjecturer, à l’aide de la calculatrice :
a) le sens de variation de la suite (un)
b) la limite éventuelle de la suite (un)

2) Soit (vn) la suite définie pour tout n ∈ N* par vn = ln(un)
a) Montrer que v = n – n ln(n)
b) En utilisant la partie A, déterminer le sens de variation de la suite (vn)
c) En déduire le sens de variation de la suite (un)

3) Montrer que la suite (un) est bornée.

4) Montrer que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.



Retour au sommaire des annales Remonter en haut de la page


Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *