Pondichéry 2010 exercice 1
Partie A : Roc
Soit a et b deux réels tels que a < b et f et g deux fonctions continues sur l’intervalle [a ,b]
On suppose connus les résultats suivants:

Et si pour tout ∈ [a ; b], f(t) ≥ 0, alors

Montrer que : si pour tout t ∈ [a,b], f(t) ≤ g(t) alors

Partie B
Soit n un entier naturel non nul. On appelle f_n la fonction définie sur [0, +∞[ par f_n(x)=ln(1 + xⁿ) et on pose

On note C_n la courbe représentative de f_n.
1) a) Déterminer la limite de f₁ en +∞
b) Étudier les variations de f₁ sur [0, +∞[
c) À l’aide d’une intégration par parties, calculer I₁
(Pour le calcul de I₁ on pourra utiliser le résultat suivant : pour tout x ∈ [0 ; 1] :

2) a) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, on a 0 ≤ I_n ≤ ln2
b) Étudier les variations de la suite (I_n)
c) En déduire que la suite (I_n) est convergente.

3) Soit g la fonction définie sur [0, + ∞[ par g(x) = ln(l +x) – x
a) Étudier le sens de variation de g sur [0, + ∞[
b) En déduire le signe de g sur [0, +∞[
Montrer alors que pour tout entier naturel n non nul, et pour tout x réel positif, on a ln( 1 + xⁿ )≤xⁿ
c) En déduire la limite de la suite (I_n)

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