Liban 2010 exercice 4
Partie A
Soit u la fonction définie sur ]0 ; +∞ [ par u(x) = x² – 2 + ln(x)
1) Etudier les variations de u sur ]0 ; +∞ [ et préciser ses limites en 0 et en +∞

2) a) Montrer que l’équation u(x) = 0 admet une solution unique sur ]0 ; +∞ [
On note α cette solution.
b) A l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10^-2 de α

3) Déterminer le signe de u(x) suivant les valeurs de x.

4) Montrer l’égalité : ln(α) = 2 – α²

Partie B
On considère la fonction f définie et dérivable sur ]0 ; +∞ [ par f(x) = x² + (2 – ln(x))²
On note f ‘ la fonction dérivée de f sur ]0 ; +∞ [
1) Exprimer, pour tout x de ]0 ; +∞ [, f ‘(x) en fonction de u(x)

2) En déduire les variations de f sur ]0 ; +∞ [

Partie C
On note Γ la courbe représentative de la fonction ln (logarithme népérien)
A le point de coordonnées (0 ; 2)
M le point de Γ d’abscisse x appartenant à ]0 ; +∞ [

1) Montrer que la distance AM est donnée par AM = √f(x) (racine de f(x) )

2) Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞ [ par g(x) = √f(x) (racine de f(x))
a) Montrer que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur ]0 ; +∞ [
b) Montrer que la distance AM est minimale en un point de Γ, noté P, dont on précisera les coordonnées.
c) Montrer que :

3) Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente à Γ en P ?

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