France métropolitaine 2009 exercice 1

Les 2 questions de cet exercice sont indépendantes.

1) On considère la suite (u_n) définie par :
u₀ = 1 et pour tout entier naturel n : u_n+1 = u_n/3 + 4
On pose, pour tout entier naturel n : v_n = u_n – 6

a )Pour tout entier naturel n, calculer v_n+1 en fonction de v_n.
Quelle est la nature de la suite (v_n) ?

b) Démontrer que pour tout entier naturel n : u_n = -5 × (1/3)ⁿ + 6

c) Etudier la convergen de la suite (u_n).

2) On considère la suite (w_n) dont les termes vérifient pour tout n ≥ 1 :
nw_n = (n+1)w_n-1 + 1 et w₀ = 1

Le tableau suivant donne les 10 premiers termes de cette suite :

a) Détailler le calcul permettant d’obtenir w₁₀.

b) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Donner la nature de la suite (w_n). Calculer w₂₀₀₉

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