Sommaire
La valeur absolue, qu’est-ce-que c’est ?
Propriétés
Propriété fondamentale
Application la plus courante
Cas des inégalités
Explication graphique
Inégalité triangulaire et distance
La fonction valeur absolue
Intérêt de la valeur absolue
La valeur absolue n’est pas un gros chapitre du programme. C’est juste un outil assez simple mais assez important pour y consacrer une page.
En effet, il existe des pièges liés à la valeur absolue qu’il faut absolument connaitre afin de les éviter !!!
La valeur absolue d’un nombre a se note entre deux barres verticales : |a|
|a| se lit « valeur absolue de a », |x| se lit « valeur absolue de x », etc…
Ca ce n’est pas trop dur^^
Maintenant il s’agit de calculer cette valeur absolue.
Le principe est très simple :
\(\displaystyle |a| = a\, si\, a\, \gt 0 \)
\(\displaystyle |a| = -a\, si\, a\, \lt 0 \)
Avec quelques exemples ça te semblera d’une simplicité déconcertante !!
\(\textstyle |4| = 4 \)
car 4 > 0
\(\textstyle |367| = 367 \)
car 367 > 0
\(\textstyle |-5| = -(-5) = 5 \)
car -5 < 0
\(\textstyle |-62,4| = -(-62,4) = 62,4 \)
car -62,4 < 0
Cela est bien sur valable pour les fractions, les entiers, les réels…
Pour faire simple, on peut dire que la valeur absolue est la « version positive » d’un nombre, mais ce n’est absolument pas mathématique de dire ça, c’est juste pour que tu comprennes le principe^^
La valeur absolue possède certaines propriétés assez simples à connaître.
Tout comme la racine carrée, on peut « séparer » en deux quand on a des produits et des fractions :
\(\displaystyle |a \times b| = |a|\, \times \, |b| \)
\(\displaystyle \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|} \)
Il y a également des propriétés avec les carrés :
\(\displaystyle |a^2| = a^2 \)
ce qui est normal car a2 est positif, donc on peut enlever la valeur absolue.
\(\displaystyle |a|^2 = a^2 \)
car a2 ou (-a)2, c’est la même chose.
Une autre propriété que l’on utilisera tout à l’heure :
\(\displaystyle Si \, |a| = k \)
\(\displaystyle a = k \,ou\, a = -k \)
\(\displaystyle avec \, k \, réel \, positif \)
Exemple, si on doit résoudre :
|x| = 4, alors x = 4 ou x = -4
|x| = 7, alors x = 7 ou x = -7.
\(\displaystyle PAR \, CONTRE \)
\(\displaystyle Si \, |a| = k \, avec \, k \, négatif \)
\(\displaystyle il \, n’y \, a \, pas\, \, de \, solution \)
Exemple, si on doit résoudre :
|x| = -5, il n’y a pas de solution.
|x| = -12, il n’y a pas de solution.
Evidemment, on a :
\(\displaystyle |a| \gt 0 \)
puisqu’on a dit que |a| est la « version positive » de a.
Il y a une autre propriété EXTREMENT importante, ce pourquoi nous avons fait une partie séparée juste après pour en parler.
Nous ferons alors des exercices en vidéo après cela.
Nous allons maintenant voir une propriété très importante qui est la source de nombreux pièges et de nombreuses erreurs dans les copies. Retiens-donc bien ce qui suit.
Il y a une formule que tu dois déjà connaître :
\(\textstyle (\sqrt{a})^2 = a \)
jusque-là pas de problème.
En revanche :
\(\displaystyle \sqrt{a^2} = |a| \)
Il est impératif que tu retiennes cette formule et que tu n’oublies pas la valeur absolue !!!
—
Attention !!! Il ne faut surtout pas dire
\(\textstyle \sqrt{a^2} = a \)
Cette formule n’est vraie que si a > 0, ce qui n’est pas forcément le cas tout le temps !!
—
Et pourquoi |a| et non pas a ?
La raison est toute simple : la racine de a2 est positive puisque c’est une racine, mais comme a ne l’est pas forcément, il faut prendre la « version positive » de a, c’est-à-dire sa valeur absolue^^
Voyons quelques exemples :
\(\textstyle \sqrt{4^2} = |4| = 4 \)
\(\textstyle \sqrt{32,7^2} = |32,7| = 32,7 \)
\(\textstyle \sqrt{(-8,5)^2} = |-8,5| = 8,5 \)
\(\textstyle \sqrt{(-\frac{5}{76})^2} = |-\frac{5}{76}| = \frac{5}{76} \)
Si on disait que
\(\textstyle \sqrt{a^2} = a \)
on aurait des égalités du style
\(\textstyle \sqrt{(-7)^2} = -7 \)
On aurait donc une racine carrée négative… 
Mais alors pourquoi on aurait pas la formule
\(\textstyle (\sqrt{a})^2 = |a| \, ?? \)
Tout simplement parce que dans cette formule on a √a, ce qui veut dire que a est forcément positif !!
Il n’y a donc pas besoin de valeur absolue…
En fait, la formule
\(\textstyle (\sqrt{a})^2 = a \)
n’est valable que pour a > 0
Alors que la formule
\(\textstyle \sqrt{a^2} = |a| \)
est valable pour tout a, positif ou négatif
Tu auras surtout à utiliser la valeur absolue dans des égalités, voire inégalités quand la variable que tu cherches est au carré.
Petit exemple :
\(\textstyle 8x^2 – 5 = 11 \)
On résout tranquillement :
\(\textstyle 8x^2= 16 \)
\(\textstyle x^2= 2 \)
Et c’est là que tout le monde se trompe, la plupart des élèves se disent « on applique la fonction racine pour enlever le carré » :
\(\textstyle \sqrt{x^2}= \sqrt{2} \)
\(\textstyle x= \sqrt{2} \)
Et bien sûr c’est la dernière ligne qui est fausse, puisqu’en réalité la dernière ligne devrait être :
\(\textstyle |x|= \sqrt{2} \)
puisque
\(\textstyle \sqrt{x^2}= |x|\, et \, non \, x \)
On utilise alors la propriété qu’on a vue tout à l’heure :
\(\textstyle Si \, |a| = k \\ a = k \,ou\, a = -k \)
Ici ça nous donne
\(\textstyle x= \sqrt{2} \)
ou
\(\textstyle x= -\sqrt{2} \)
Il y a donc 2 solutions à l’équation, et c’est souvent le contexte de l’exercice qui permet de dire quelle solution est la bonne.
Normalement tu as déjà dû voir cela en 3ème, tu disais alors, par exemple :
\(\textstyle Si\, x^2 = 5 \)
alors
\(\textstyle x= \sqrt{5} \)
ou
\(\textstyle x= -\sqrt{5} \)
Tu rédigeais comme cela directement sans passer par la valeur absolue, maintenant tu sais d’où ça vient^^
Si tu veux être sûr de ne pas te tromper, tu peux toujours faire la méthode de la factorisation.
Si par exemple tu dois résoudre
\(\textstyle x^2= 9 \)
tu passes tout à gauche
\(\textstyle x^2 – 9 = 0 \)
et tu factorises
\(\textstyle (x + 3) \times (x – 3) = 0 \)
\(\textstyle x + 3 = 0 \, ou \, x – 3 = 0 \)
\(\textstyle x = -3 \, ou \, x = 3 \)
C’est une autre technique un peu plus longue mais au moins tu es sûr de ne pas oublier de solution !
Bon il est maintenant temps de faire PLEIIIIIN d’exercices en vidéo, avec le nombre d’exemples qu’il y a, tu ne devrais plus avoir de soucis 
Pour les égalités, on vient de le voir, c’est assez simple.
Pour les inégalités en revanche, c’est un peu différent !
Les formules sont les suivantes :
\(\displaystyle Si \, x^2 \le k \)
\(\displaystyle avec \, k \, positif, \, alors \)
\(\displaystyle -\sqrt{k} \le x \le \sqrt{k} \)
Exemple :
\(\textstyle Si\, x^2 \le 7 \)
alors<
\(\textstyle -\sqrt{7} \le x \le \sqrt{7} \)
Il y a bien sur également le cas contraire :
\(\displaystyle Si\, k \le x^2 \)
\(\displaystyle avec \, k \, positif, \, alors \)
\(\displaystyle x \le -\sqrt{k} \\ ou \\ \sqrt{k} \le x \)
Exemple :
\(\textstyle Si\, 11 \le x^2 \)
alors<
\(\textstyle x \le -\sqrt{11} \)
ou<
\(\textstyle \sqrt{11} \le x \)
On ne se sert pas souvent de ces formules au lycée donc ne te casse pas trop le tête avec ça, retiens plutôt les propriétés vues précédemment.
Nous allons voir graphiquement l’explication de toutes ces formules, tu comprendras beaucoup mieux et tu retiendras ainsi beaucoup plus facilement.
Nous allons résoudre graphiquement les équations dont on a parlé précédemment, tu comprendras alors d’où viennent les formules^^
Pour résoudre x2 = k, on trace la fonction y = x2 et la droite d’équation y = k :
On voit bien que les deux courbes se coupent en 2 points, il y a donc 2 solutions : √k et -√k.
Pour résoudre x2 ≤ k, on fait de même :
comme x2 ≤ k, c’est la partie sous le k de la fonction carrée (la partie rouge) qui nous intéresse.
On voit que cela correspond alors à la partie bleue, c’est-à-dire l’intervalle [-√k ; +√k]
Pour résoudre x2 ≥ k, c’est sensiblement la même chose, sauf que là, c’est la partie au-dessus du k (en rouge) qui nous intéresse :
On voit alors qu’il y a 2 intervalles possibles : ]-∞ ; -√k] et [√k ; +∞[, ce qu’on avait dit tout à l’heure.
L’inégalité triangulaire est la formule suivante :
\(\displaystyle |a + b|\, \le \, |a|\, + \, |b| \)
Pour comprendre cette inégalité, il suffit de voir son explication géométrique en termes de vecteurs :
On sait très bien que dans un triangle, la somme de 2 côtés doit être supérieure au 3ème, ce qui nous donne la formule.
Mais dans la formule il y a la valeur absolue.
Ceci est dû au fait que la valeur absolue représente la distance entre 2 points :
\(\displaystyle |a – b| représente \)
\(\displaystyle la \, distance\, entre\, a\, et\, b \)
Avec un exemple et une droite graduée on voit bien le principe :
et en effet, la distance entre 5 et 3 est bien 2 :
\(\textstyle |5 – 3| = |2| = 2 \)
De même pour 4 et -3 :
\(\textstyle |4 – (-3)| = |4 + 3| = |7| = 7 \)
et en effet, la distance entre 4 et -3 est bien 7 :
Tu verras en Terminale qu’on fait exactement pareil avec les complexes.
Mais généralement on n’utilise pas trop cela au lycée, c’est surtout les propriétés vues précédemment qui sont importantes.
La fonction valeur absolue, c’est-à-dire f(x) = |x|, n’est pas forcément à connaître, ce qu’il faut savoir c’est comment manipuler et calculer des valeurs absolues.
Nous allons cependant te présenter à quoi ressemble la courbe, juste pour ta culture mathématique
En effet, on a vu que la valeur absolue était définie de la manière suivante :
\(\textstyle |x| = x\, si\, x\, \gt \, 0 \)
et
\(\textstyle |x| = -x\, si\, x\, \lt \, 0 \)
La courbe est donc composée des courbes de y = -x sur ]-∞ ; 0[ et y = x sur ]0 ; +∞[
On peut voir graphiquement une petite propriété vue tout à l’heure :
\(\displaystyle Si \, |a| = k, alors \)
\(\displaystyle a = k \,ou\, a = -k \)
Graphiquement :
On voit bien que si |x| = k il y a 2 solutions : x = k ou x = -k.
Une petite remarque qui n’est pas fondamentale : la fonction valeur absolue est continue en 0 mais n’est pas dérivable en 0, la dérivée à gauche n’étant pas la même que la dérivée à droite.
On l’a vu, la valeur absolue sert principalement dans les égalités ou inégalités ou l’inconnue est au carré.
Mais on s’en sert également dès qu’on a besoin de la « version positive » d’un nombre, notamment en physique, quand on cherche la norme de vecteurs représentant des forces par exemple.
Retour au sommaire des coursRemonter en haut de la page
J’aime beaucoup ce site
merci beaucoup 😀
Tout ça aide beaucoup, merçi !
vraiment merci!
Merciiiii
Merci beaucoup j’ai compri beaucoup de notion
Très bonnes explicatons, merci pour l’aide 😉
j ai ete satisfais du site
Je vous remercie d’avantage
Merci !!
vraiment merciiiii beaucoup
j’aime bien ce site 🙂
merci pour ce cours
un grand merci pour l’équipe qui m’a permis de rafraîchir la mémoire
tres cool ce site
génial !! très simplifié
c’est super ici!
en tout cas merci! et je vous encourage de continuer…
vous êtes vraiment utiles
super j`aime ce site
merci !!
C’était trop professionnel ce cour j’adore
J’aime bcp
Ici tout est plus clair. Continuez comme ça et merci.
J’apprécie ce cite c’est exactement trouver pour moi…..
Jaime Beaucoup Ce Site!
MERCI .
Je vous remercie du fond du coeur pour votre aide que Dieu nous progresse notre connaissance durant notre vie dans ce monde dont Il nous a laissé .
Les mathématiques sont trop magnifique
l’apprentissage paie
Merci our cette bonne explication
merci.pou ce travail
Merci beaucoup . Sa va booster encore mes connaissances et mes notes de classe
super coul la demo
Merci
C’est super.j’ai beaucoup aimé
TRES BIEN EXPLIQUE
J’aime beaucoup ce site parce que j’apprends beaucoup, je découvre de nouvelles choses.
Merci beaucoup mais ça n’explique pas vraiment ce que je veux mais bon thank you for all .
merci beaucoup pour les cours
C’est bien et en plus très compréhensible
j’ai reussi ma session grace a ce site. vous faites un grand travail
je suis satisfait de votre site de maths.
Merci !
Merciii beaucoup ❤
Merci à toi !
Merci tu mets bien
Merci infiniment pour votre aide ❤❤❤❤
J’aime
je suis très satisfait
C’est top; merci beaucoup…
Merci beaucoup
QUE DIEU VOUS BÉNISSE
un grand merci. C’est tellement bien expliqué
Merci ! 🙂