Sommaire
Calcul de dérivées partielles
Calcul de dérivées partielles composées
Primitive avec des dérivées partielles
Formes différentielles exactes
Dans cette vidéo nous allons calculer les dérivées partielles suivantes :
\(\textstyle \frac{\partial f}{\partial x}, \, \frac{\partial f}{\partial y}, \, \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}, \, \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2} \)
\(\textstyle \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}, \, \frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x} \, et \, g'(x) \)
pour les fonctions suivantes :
\(\textstyle f(x \, ; \, y) = e^x sin(y) \)
\(\textstyle f(x \, ; \, y) = \sqrt{3x + 2y} \)
\(\textstyle g(x) = h(3x + 4 \, ; -7 \sqrt{x} + 5) \)
avec :
\(\textstyle h(u \, ; \, v) = u^4 + v^2 \)
Calculer les dérivées partielles premières de H et F, ainsi que G’ pour les fonctions suivantes :
\(\textstyle F(x \, ; \, y) = cos(x + y) \)
\(\textstyle G(t) = F(e^t \, \, ; \, \, 2t^3) \)
\(\textstyle H(x \, ; \, y) = F(xy \, \, ; \, \, x + e^y) \)
Pour cette 2ème vidéo, nous allons chercher l’ensemble des fonctions f qui sont C1 de R2 dans R, vérifiant le système :
\(\textstyle \left\{ \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} = ye^x \\ \frac{\partial f}{\partial y} = e^x + 2y \end{array} \right. \)
Nous ferons la même chose avec le système suivant :
\(\textstyle \left\{ \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} = yx^2 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = xy^2 \end{array} \right. \)
Montrer que la forme différentielle suivante est exacte et l’intégrer :
\(\textstyle \forall (x \, ; \, y) \in \mathbb{R}^2, \, f(x \, ; \, y) = 2xydx + x^2 dy \)
Même question avec la forme suivante :
\(\textstyle \forall (x \, ; \, y \, ; \, z) \in \mathbb{R}^3, \)
\(\textstyle f(x;y; z) = yz^2 dx + (xz^2 + z) dy + (2xyz + 2z + y)dz \)
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