Sommaire
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Soit la fonction f, 2-π périodique, et définie sur [-π ; π] par :
Pour tout x ∈ [-π ; π], f(x) = x2
1) Déterminer la série de Fourier de f.
2) Calculer les sommes suivantes :
\(\displaystyle \sum_{n \ge 1}\frac{1}{n^2} \)
\(\displaystyle \sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^{n + 1}}{n^2} \)
\(\displaystyle \sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^4} \)
Indice : utiliser la formule de Parseval !
Soit la fonction f impaire, 2-π périodique et définie par :
Pour tout x ∈ ]0; ; π[, f(x) = 1, et f(nπ) = 0 pour tout entier relatif n.
1) Déterminer la série de Fourier de f.
2) En déduire les sommes suivantes :
\(\displaystyle \sum_{k \ge 0}\frac{(-1)^k}{2k + 1} \)
\(\displaystyle \sum_{k \ge 0} \frac{1}{(2k + 1)^2} \)
\(\displaystyle \sum_{k \ge 1} \frac{1}{n^2} \)
\(\displaystyle \sum_{k \ge 1} \frac{(-1)^n}{n^2} \)
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