Périmètres, aires et volumes

Sommaire

Introduction
Les triangles
Les rectangles et les pavés droits
Les cercle et les disques
Les cylindres
Les sphères
Les cônes et les pyramides
Cylindres réguliers
Exercices

Introduction

Nous allons voir dans ce chapitre les différentes formules pour calculer les périmètres, les aires et les volumes. Tu dois absolument les connaître elles te serviront durant toutes tes études, même après le bac !
Pour les figures en deux dimensions, nous calculerons le périmètre et l’aire.
Pour les figures en trois dimensions, nous calculerons l’aire et le volume.
Les périmètres sont notés P, les aires A et les volumes V.
Des exemples de chaque formule seront donnés sur une autre page pour t’entraîner

Les triangles

Commençons par les triangles.
Pour le périmètre c’est simple on additionne les longueurs de chaque côté donc pas de formule particulière.

Pour l’aire, il faut savoir que les triangles sont caractérisés par une base et une hauteur.
On rappelle que la hauteur est perpendiculaire à un côté et passe par le côté opposé :

La hauteur est une droite mais pour calculer l’aire on dira que la hauteur est le segment entre un sommet et son projeté orthogonal sur le côté opposé (comme sur le schéma ci-dessus).
Bien sûr on aurait très bien pu prendre une autre base et une autre hauteur :

Tu l’auras compris, le triangle possède en fait 3 bases (chaque côté) et une hauteur associée à chacune de ces bases. Suivant l’exercice, c’est toi qui devra choisir qu’elle base choisir (et donc quelle hauteur).

A noter que, comme sur les deux triangles ci-dessus, pour tracer la hauteur il faut parfois prolonger la base en pointillés (en rouge sur le dessin). La hauteur sera alors en dehors du triangle, tout comme le projeté orthogonal (le point D sur le schéma).
La longueur de la base sera alors (DC) dans le triangle du dessus, et (DB) dans celui du dessous.
La longueur de la base n’est donc pas forcément la longueur du côté…

Une fois que l’on a choisi la base et la hauteur, la formule est simple :

Il existe un cas particulier que tu connais très bien : les triangles rectangles.
Pour ce cas particulier la base et la hauteur sont les côtés adjacents à l’angle droit (il n’y a pas d’importance à savoir quel côté est la base et quel côté est la hauteur) :

On peut bien sûr dire que la base est l’hypoténuse mais à ce moment-là il faudra calculer la hauteur qui est ici [BD]:

Nous verrons dans les exercices que cela peut te servir

Les rectangles et les pavés droits

Continuons par des formes que l’on rencontre dans le vie de tous les jours : les rectangles et les pavés droits.
Un pavé droit est ce que l’on appelle une boîte à chaussure : il s’agit en fait d’un rectangle en 3D.

Un rectangle est en deux dimensions, tandis qu’un pavé droit est en trois dimensions.

Pour le rectangle, qui est en 2D, nous allons calculer le périmètre et l’aire.
Un rectangle est défini par sa longueur notée L et sa largeur notée l. Habituellement la longueur est le plus grand côté et la largeur le plus petit côté mais cela n’a pas d’importance :

On a les formules suivantes :

Normalement tu devrais connaître ces formules depuis longtemps donc ce n’est qu’un rappel

Un pavé droit est un rectangle… mais en 3D ! Il est caractérisé par sa longueur et sa largeur, mais aussi par sa hauteur notée h :

On peut considérer qu’il s’agit de plusieurs rectangles empilés les uns sur les autres, la hauteur étant le nombre de rectangles superposés. Un de ces rectangle peut être considéré comme la base.
Le volume correspond donc à l’aire de cette base (L &times l) multiplié par le nombre de rectangles superposés (h).
On a donc :

On aurait pu de manière plus générale dire V = Abase &times hauteur. Cette formule va se retrouver dans d’autres figures que l’on verra plus bas.

Les cercles et les disques

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Passons maintenant à ce qui pose plus de problème aux élèves car ils mélangent souvent les formules : les cercles et les disques.
Tout d’abord, un cercle est un rond creux, comme un anneau, alors qu’un disque est plein, comme une pièce de monnaie. Les deux sont en 2D. Ils sont tous les deux caractérisés par leur rayon noté R.

Les formules sont les suivantes :


ATTENTION à ne pas confondre les deux car les élèves inversent très souvent, ou ils inventent une formule du style 2 &times Π &times R2

Pour ne pas mélanger et se souvenir facilement des formules il y a un moyen simple de retenir :
– tout d’abord il n’y a qu’un seul 2 dans les formules, donc 2 &times Π &times R2 n’existe pas comme formule !!
– pour retenir ou se situe le 2 il faut retenir par rapport à l’unité.

En effet, un périmètre s’exprime en m, dm, cm, mm etc…
Une aire en m2, dm2, cm2, mm2 etc…
Un volume en m3, dm3, cm3, mm3 etc…


Ainsi, dans Π &times R2, le R étant au carré, on aura des m2, ou dm2, cm2… le R2 est donc dans la formule de l’aire !
A l’inverse dans 2 &times Π &times R le R n’est pas au carré donc on aura un résultat en m, ou dm, cm… ce qui correspond au périmètre.

Avec toutes ces astuces tu ne devrais plus confondre les deux formules !

Les cylindres

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Un cylindres est tout simplement un disque en 3D, donc un disque avec une épaisseur.
Il est caractérisé par son rayon R et sa hauteur h :

A noter qu’il est composé d’une partie « latérale » et de deux couvercles :

Pour les formules, il faut voir le cylindre comme plusieurs disques que l’on aurait superposé, la hauteur h étant le nombre de disques superposés : c’est le même principe que pou le pavé droit !

Ainsi, si l’on fait le périmètre du cylindre (sans compter les couvercles !), il suffit de dire que c’est le périmètre du disque de base fois le nombre de disques :


(aire latérale sans compter les couvercles)

Pour le volume même principe, il suffit de considérer que c’est l’aire du disque fois le nombre de disques superposés, comme on l’a fait pour le pavé droit :

Remarque : dans l’aire, R et h étant en mètres, le résultat sera en m2, normal puisqu’il s’agit d’une aire.
Pour le volume, R2 est en m2 et h en m, donc le résultat sera en m3, normal pour un volume.
Donc tout est cohérent au niveau des unités

Prends l’habitude de vérifier la cohérence au niveau des unités pour éviter les erreurs.

Les sphères

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Passons maintenant aux sphères, qui sont des cercles en 3D, caractérisés par leur rayon :

Si l’on considère que cette sphère correspond à la Terre, l’aire correspond à la surface de la Terre, et le volume à tout ce qu’il y a à l’intérieur :

Ces formules sont un tout petit peu plus difficiles à retenir que les autres donc apprends les bien par cœur !!

Là encore tout est logique au niveau des unités : R2 est en m2 ce qui correspond bien à une aire, et R3 est en m3, ce qui correspond bien à un volume.

Les cônes et les pyramides

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Terminons enfin par des figures que l’on rencontre un peu moins : les cônes et les pyramides.
Le principe est en fait le même : on a une base, qui peut être un disque pour les cônes, un rectangle ou un carré pour les pyramides, voire un triangle comme pour les tétraèdres (la base est en rouge sur les dessins ci-dessous). Et on a un sommet noté S, qui est relié à chacun des points du contour de cette base :

Chacune de ces figures a une hauteur, correspondant au segment entre le sommet et le projeté orthogonal de ce sommet sur la base :

Nous ne calculerons pas l’aire ce ces figures (ilr n’y a pas de formule il faut s’adapter suivant la figure).
En revanche pour le volume, la formule est la même pour toutes ces figures puisqu’elles sont construites sur le même principe :

Abase correspond à l’aire de la base (le disque ou le carré ou le triangle etc…).
Hauteur correspond à la longueur de la hauteur.
Pour les unités, l’aire est en m2 et la hauteur en m donc le tout en m3, ce qui correspond bien à un volume.

Tu as peut-être remarqué que cette formule ressemble beaucoup à celle du cylindre ou du pavé droit, sauf que c’est divisé par 3.

Retiens bien cette formule car les élèves l’oublient souvent !

Cylindres réguliers

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Avant de passer aux exercices, voyons quelque chose dont on a déjà parlé plus haut : les cylindres réguliers.
On a déjà vu le cylindre circulaire, qui est en fait constitué d’une base et l’on superpose plusieurs de ces bases pour donner un élément en 3D. On a également vu le pavé droit, avec une base rectangulaire.
Pour le pavé droit la base est un rectangle et pour le cylindre un disque, mais on peut très bien imaginer un triangle (ce qui donnerait une figure en forme de Toblerone), un pentagone, un hexagone etc…

Mais quelque soit la forme de base, la formule pour calculer le volume est la même :

Avec toutes ces formules tu devrais réussir parfaitement toutes les questions sur les périmètres, les aires et les volumes

Avec cette formule tu pourras calculer les volumes de toutes les figures construites sur ce schéma-là !

Exercices

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