Intégration avec changement de variable

Exercice 1
Il s’agit de calculer l’intégrale suivante :

$\int\limits_{ln(3)}^{3ln(2)} \frac{1}{\sqrt{1 + e^x}}dx$

avec le changement de variable :

$y = \sqrt{1 + e^x}$

Exercice 2

Même exercice, il s’agit de calculer l’intégrale suivante :

$\int\limits_1^3 \frac{dx}{x\sqrt{1 + x^2}}$

avec le changement de variable :

$t = \frac{1}{x}$

On rappelle la dérivée de argsinh :

$argsinh'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$

Intégrale impropre classique avec changement de variable en polaire

Nous allons calculer une intégrale impropre très classique après avoir justifié son existence :

$I = \int\limits_{- \infty}^{+ \infty} e^{-x^2} dx$

Calcul de primitive

Il s’agit cette fois-ci de calculer la primitive de la fonction suivante à l’aide d’un changement de variable :

$f(x) = \frac{x}{(x-1)^3}$

Le changement de variable n’est pas donné, il faut le trouver tout seul^^

Circulation d’un champ de vecteurs

Soit deux réels a et b. On considère les points I(a ; 0 ; 0), J(0 ; b ; 0) et K(a ; b; 0), ainsi que le champ :

$\vec{A} = (y^2 - x^2)\vec{e_x} + 2xy \vec{e_y}$

Calculer la circulation de ce champ de vecteurs sur OIK, puis sur OJK.
Vérifier le résultat en utilisant une propriété du cours.

Changement de variable en 2d : le jacobien – calcul d’aire

Pour la première vidéo :
Soit D = {(x ; y) ∈ R² | 4 ≤ x² + y² ≤ 9, y ≥ 0}
Calculer A_D de deux manières différentes.

Pour la deuxième vidéo :
Soit D = {(x ; y) ∈ R² | 0 ≤ x² + y² ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
Calculer A_D puis calculer :

$\displaystyle \int \int\limits_D \frac{1}{1 + x^2 + y^2} dx dy$

Formule de green-Riemann

1er exercice
Calculer :

$\displaystyle I = \int \int\limits_D y^2 dx dy$

avec

$D = \{(x \, ; \, y) \in \mathbb{R}^2 | \frac{x^2}{4} + y^2 \le 1 \}$

2ème exercice
Calculer :

$\displaystyle I = \int \int\limits_D xy dx dy$
avec
$D = \{(x \, ; \, y) \in \mathbb{R}^2 | x \ge 0, \, y \ge 0, \, x + y \le 1 \}$

Méthode Maths